Величайшие математические задачи

3. Доказать, что каждая из неустранимых конфигураций сократима. Иными словами, если меньшая сеть, полученная при удалении неизбежной конфигурации, может быть раскрашена в четыре цвета, то эти цвета можно перераспределить таким образом, что при возвращении неустранимой конфигурации раскраску в четыре цвета можно распространить и на нее тоже.

Объединив эти три шага, мы можем доказать, что минимального контрпримера не существует. Если бы он существовал, то обязательно содержал бы хотя бы одну из неустранимых конфигураций. Но остальная часть сети меньше по размеру, поэтому из минимальности контрпримера следует, что он может быть раскрашен в четыре цвета. А сводимость подразумевает, что исходная сеть тоже может быть раскрашена в четыре цвета. Это противоречие.

Исходя из этих посылок, Кемпе составил (причем совершенно верно) список неустранимых конфигураций: это точка с выходящими из нее тремя, четырьмя или пятью линиями (см. рис. 14). Кроме того, Кемпе корректно доказал, что первые две конфигурации сводимы, однако ошибся с доказательством сводимости третьей конфигурации. На самом деле она несводима. Отсюда предложение: замените эту нехорошую конфигурацию более длинным набором конфигураций, следя за тем, чтобы полный набор оставался неизбежным. Проделайте это таким образом, чтобы каждая конфигурация в наборе была сводимой. Иными словами, найдите неустранимой множество сводимых конфигураций. Если у вас получится, это будет означать, что вы доказали теорему о четырех красках.

Такого набора, вообще говоря, может и не быть в природе, но стратегия сама по себе заслуживает внимания, тем более что ничего лучшего никто предложить не сумел. Правда, у этого метода есть один недостаток. С одной стороны, чем длиннее список конфигураций, тем больше шансов на то, что они действительно неизбежны, а это хорошо. С другой стороны, чем длиннее список, тем меньше вероятность того, что каждая конфигурация в нем окажется сводимой; а если это не так, то все доказательство рушится. Эта опасность становится тем острее, чем больше в списке конфигураций, а это плохо. С третьей стороны, более длинный список предоставляет больше возможностей для выбора сводимых конфигураций, и это хорошо. С четвертой — он увеличивает объем работы, необходимый для доказательства сводимости, и это плохо. А с пятой стороны, хороших способов сделать это просто не существовало.

Именно такие препятствия делают великие задачи великими.

Итак, в течение какого-то времени события развивались так: осаждающим удавалось иногда отбить от стены камешек, но это никак не сказывалось на ней. При этом весь остальной математический мир смотрел на эту осаду позевывая, если вообще обращал на нее внимание. Но кое-кто — его звали Генрих Хееш — уже сооружал более мощный таран. Его вкладом в решение задачи стал метод доказательства сводимости конфигурации, который автор называл «разрядкой». По его мысли, точки в сети следовало рассматривать как приблизительный аналог электрических зарядов, а раскрашивание — как перетекание электричества от одной точки к другой.

Но даже при помощи метода Хееша вручную искать неизбежный набор сводимых конфигураций было невероятно сложно. Отдельные конфигурации при этом, вероятно, были бы достаточно небольшими, но их количество… Хееш продолжал упорно работать, а в 1948 г. даже прочитал курс лекций на эту тему. Он полагал, что полный набор конфигураций должен включать порядка 10 000 штук. На тот момент он успел доказать сводимость 500 комбинаций. На одной из лекций Хееша присутствовал молодой человек по имени Вольфганг Хакен. Позже он признавался, что мало что понял из того, о чем говорил Хееш, но некоторые его рассуждения Хакену запомнились. Он продолжил изучать топологию и позже совершил крупное открытие в теории узлов. Это побудило его взяться за гипотезу Пуанкаре (см. главу 10). Исследуя один из подходов к проблеме, Хакен разложил все возможные случаи на 200 вариантов, решил 198 из них и еще 13 лет безуспешно сражался с двумя оставшимися. После этого он сдался и перешел к задаче о четырех красках. Очевидно, Хакен любил по-настоящему сложные проблемы, но его беспокоила мысль о том, что с 10 000 комбинаций Хееша может произойти нечто подобное. Представьте только: успешно разобраться с 9998 комбинациями и застрять на двух последних. Поэтому в 1967 г. он пригласил Хееша к себе в Университет штата Иллинойс, чтобы спросить совета.