Величайшие математические задачи

Аппелю и Хакену еще нужно было убедиться, что в доказательстве нет глупых ошибок и упущений, а несколько групп ученых уже устремились по их следам. К июлю, уверившись в действенности своего метода, Аппель и Хакен официально объявили математическому сообществу, что им удалось доказать теорему о четырех красках. Они выпустили препринт — предварительный вариант статьи, который печатается до выхода в свет основной публикации. В то время на публикацию серьезной математической статьи обычно уходило от одного до двух лет. Чтобы не сдерживать прогресс, математикам приходилось искать более быстрые способы познакомить профессиональное сообщество с важными результатами, и препринты были одним из них. В наши дни препринты, как правило, публикуются в Интернете. Полная официальная публикация требует рецензирования, и препринты помогают в ее подготовке — ведь кто угодно может читать их, искать ошибки и сообщать о них авторам, а также предлагать улучшения. Именно поэтому опубликованная версия статьи часто сильно отличается от препринтной.

Окончательное доказательство потребовало около 1000 часов компьютерного времени и содержало 487 правил разрядки. Результаты были опубликованы в двух статьях с 450-страничным приложением, в котором показаны все 1482 конфигурации. На тот момент это был верх совершенства.

Однако основной реакцией математического сообщества стало легкое разочарование. Не результатом как таковым и не замечательным компьютерным достижением. Разочарование вызвал метод. В 1970-е гг. математические доказательства составлялись — и проверялись — вручную. Как я уже говорил в главе 1, доказательство — это рассказ, сюжет которого убеждает вас в истинности того или иного утверждения. Но у этого рассказа не было сюжета. Или если и был, то с большой прорехой на самом интересном месте:

«Жила-была на свете красивая Гипотеза. Мать говорила ей никогда не заходить в темный опасный лес. Но однажды маленькая Гипотеза-о-Четырех-Красках улизнула из дома и забрела-таки туда. Она знала, что если каждая конфигурация в лесу сводима, то она сможет получить доказательство и стать маленькой Теоремой-о-Четырех-Красках; тогда ее опубликуют в журнале, которым заведует Принц Цвет. Глубоко-глубоко в лесу набрела маленькая Гипотеза на компьютер в шоколаде, внутри которого сидел Волк, притворившийся программистом. И Волк сказал: “Да, они все сводимы”, — и все они жили счастливо и умерли в один день».

Нет, так не годится. Я, конечно, шучу, но прореха в сюжете этой сказки примерно соответствует прорехе в доказательстве Аппеля — Хакена — или по крайней мере тому, что математики в большинстве своем восприняли как прореху в доказательстве. Откуда нам знать, что Волк сказал правду?

Мы можем запустить собственную компьютерную программу и выяснить, согласуются ли результаты ее работы с опубликованным доказательством. Но, сколько бы раз мы это ни проделывали, нам все равно не удастся получить столь же убедительный результат, как, к примеру, приведенное мной доказательство того, что обрезанную шахматную доску невозможно полностью закрыть костяшками домино. Компьютерное доказательство невозможно воспринять целиком. Его не проверишь вручную, даже если проживешь миллиард лет. Хуже того, даже если бы это было возможно, никто не поверил бы результату. Человеку свойственно ошибаться, а за миллиард лет ошибок накопится множество.

Компьютеры, вообще говоря, не ошибаются. Если компьютер и человек параллельно проведут достаточно сложные арифметические вычисления и их результаты не сойдутся, то в подобном соревновании по-настоящему разумный человек всегда поставит на компьютер. Но в его работе нет определенности. Корректно функционирующий компьютер в принципе может совершить ошибку; к примеру, космическая частица, пролетев сквозь ячейку памяти, может изменить ее состояние с 0 на 1. От этого можно защититься, повторив расчет. Ошибиться может и разработчик компьютера, что гораздо серьезнее. Так, у процессора Intel P5 Pentium в стандартных операциях с плавающей точкой была ошибка: если его просили разделить 4 195 835 на 3 145 727, он выдавал в ответ 1,33373, тогда как верный ответ 1,33382. Как оказалось, четыре ячейки таблицы оставались незаполненными. Кроме того, причина компьютерной ошибки может крыться в операционной системе или в недостатках пользовательской программы.