Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Для окрестности в форме квадратика  Неприятные полоски будут иметь площадь  Четыре полосы: две вертикальные и две горизонтальные — расположатся у края; любой дополнительный изгиб, горизонтальный или вертикальный, добавит еще одну полоску. А теперь воспользуемся свойством аддитивности мер и вычислим меру объединения всех полосок как сумму их площадей, за вычетом площади пересечений. При этом следует заметить, что пересекающиеся полоски формируют квадратики площадью d² = αS.

Сложив карту так, чтобы получилось n горизонтальных и m вертикальных изгибов, мы получим суммарную площадь неприятной зоны, равную  Разделив ее на площадь всей карты S, получим неприятную долю общей площади, выраженную только через количество сгибов и α. Отсюда получаем вероятность оказаться в этой доле при случайном выборе объекта:

На рисунке 2.4 заливкой показаны области, в которых эта доля превышает 50 % для различных значений α. Например, приняв α = 0,75 % и сложив карту вдвое в одном направлении (одна складка) и вчетверо — в другом (три складки), мы найдем, что вероятность попасть в неудобное место превысит 50 %.

Рис. 2.4. Зоны, в которых вероятность оказаться на сгибе карты или на ее краю, превышают 50 %. Числами отмечены значения α

Чаще всего карты имеют по три вертикальные и три горизонтальные складки, что дает вероятность выполнения закона подлости около 60 % при весьма незначительном α = 0,5 %.

Проверяем честность реальной монеты

Теперь мы можем вернуться к вопросу, с которого начался наш разговор: насколько может быть честна реальная монетка? Колмогоровское определение вероятности дополнило ее частотное определение и свело его к геометрическому (как к доле «объема» события в общем «объеме» возможностей). Таким образом, доля площади белых полосок на рис. 2.1 отражает вероятность того, что монетка в результате эксперимента не поменяет исходной ориентации, а доля серых — вероятность получить обратную ориентацию. Монетку мы можем считать честным генератором двух этих равновероятных исходов, только если сможем показать, что общая площадь белых полосок равна общей площади закрашенных.

Но вот беда! Если добросовестно рассматривать всю четверть координатной плоскости, то площадь каждой отдельной полоски на диаграмме окажется бесконечной. Более того, и полосок бесконечное число! Как же сравнивать бесконечные суммы бесконечных значений? Нам опять поможет понятие меры. Аддитивное свойство позволит нам аккуратно показать, что бесконечность не мешает площадям серых и белых областей быть одинаковыми. В явном виде уравнения для наших кривых имеют вид ω = n/t. Если площадь под кривой ω = 1/t равна S, то благодаря свойству аддитивности площадь под кривой ω = n/t будет равна S_n = nS. В свою очередь, для отдельных полосок получаем: S_n — S_n–1 = nS — (n–1)S = S, а это значит, что разница площадей не зависит от «номера» гиперболы. Это не особенность именно гипербол, тот же вывод можно сделать для любой кривой вида y = nf(x). А раз так, попадания в белую или серую часть диаграммы равновероятны для всей области определения, как и ожидается для «честной» монетки.

Рассуждения, которые мы сейчас привели, кажутся достаточно простыми, но дают весьма общий результат, применимый к любым аддитивным величинам. Абстрактное понятие меры позволило нам сравнивать бесконечные величины, оставаясь в рамках логики и здравого смысла.

Абстракции — это хорошо, но можно возразить, что в реальности мы подбрасываем монетки не со всеми возможными параметрами. Как показали эксперименты со скоростной камерой, при бросании монеты рукой угловые скорости попадают в диапазон от 20 до 40 оборотов в секунду, а длительность полета — от половины до одной секунды. Эта область на рис. 2.1 выделена прямоугольником. В ней суммарная площадь белых полосок чуть больше, чем серых, и можно сделать вывод, что вероятность выпадения той же стороны, что была вверху при броске, составит 50,6 %.

В 2007 году Перси Диаконис и соавторы опубликовали статью, в которой дается развернутый анализ процесса подбрасывания монетки. Детальное описание механики летящего и вращающегося диска, который не просто крутится, а еще и прецессирует (его ось вращения сама поворачивается в полете, описывая коническую поверхность), показывает, что при ручном подбрасывании из позиции «орел сверху» вероятность выпадения «орла» составляет 51 %. К смыслу этого результата мы еще вернемся.

Откуда же берется случайность?