Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Любопытно, но, окажись у нас идеальный генератор случайных чисел с бесконечной точностью, вероятность получить с его помощью какое-либо рациональное число[8] (не какое-то конкретное, а вообще любое) тоже будет равна нулю. Драматизма этому факту придает то обстоятельство, что множество рациональных чисел не просто бесконечно, оно всюду плотно. Это значит, что в любой сколь угодно малой окрестности выбранной рациональной точки можно обнаруживать новые и новые рациональные точки. Если мы захотим изобразить это множество графически на числовой оси, то можем брать карандаш и смело рисовать сплошную прямую на ней. Однако и это множество имеет нулевую меру на множестве всех вещественных чисел! Доказательство того, что рациональные числа образуют плотное подмножество нулевой меры множества вещественных чисел, наделало шума в конце XIX века. В таких случаях математики говорят: случайно выбранное вещественное число почти наверняка будет иррациональным. Как бы странно ни звучало, но «почти наверняка» — точный математический термин, означающий, что событие — дополнение подмножества вероятностного пространства нулевой меры.

Если бы пифагорейцам удалось заглянуть в науку будущего, они пришли бы в недоумение, обнаружив, что верные и понятные рациональные числа — как им казалось, единственно возможные, на которых строилась вся их математика, — практически не встречаются на числовой оси! Вот уж точно — закон подлости! И если в быту мы чаще всего встречаем целые числа или несложные дроби, то даже в повседневной физике или геометрии «работает» большое количество иррациональных зависимостей (корни различных степеней) и трансцендентных функций (синусы, логарифмы и т. п.), делающее рациональные и целые решения редкостью. Среди фундаментальных физических констант нет «фундаментально» рациональных чисел. Некоторые из них — такие как скорость света, заряд электрона, постоянные Планка и Больцмана[9] — приняты рациональными или целыми по соглашению. Просто единицы измерения подобраны так, чтобы фиксировать количество значимых цифр в этих константах, поэтому в таблицах такие величины указаны «точно», но эта точность в известном смысле искусственная, принятая для удобства.

Если кто-то терпеливо проведет тысячу экспериментов с монеткой и радостно скажет вам, что у него получилось столько же выпадений «орлов», сколько и «решек», можете смело выразить сомнение или поздравить его с редкой удачей. Хоть бросание монетки — дискретный случайный процесс, по мере накопления статистики мощность вероятностного пространства будет расти, а мера события «число „орлов“ совпадает с числом „решек“» станет уменьшаться. Можно показать, что вероятность этого «самого вероятного» события уменьшается с ростом числа испытаний как . Для сотни бросаний это около 8 %, для десяти тысяч — в десять раз меньше.

Мы еще вернемся к этим рассуждениям в одной из следующих глав, когда зададимся вопросом о том, насколько каждый из нас может считать себя нормальным.

О коварстве географических карт

Я хочу вернуться к толкованию вероятности и продемонстрировать эквивалентность ее колмогоровского и частотного определений. Мы раскроем загадку одного закона подлости, который не вошел в классические книги по мерфологии, но хорошо известен туристам, геологам и всем, кто пользуется топографическими картами:

То место, куда направляется турист, чаще всего оказывается либо на сгибе карты, либо на краю листа.

Раскроем карту, чтобы найти на ней какой-нибудь объект. Предположим, нас одинаково часто интересуют объекты, расположенные на всех участках карты. Причем не объекты сами по себе как точки. Весь смысл использования карты состоит в обозрении окрестностей объекта, некой конечной площади. Пусть нам достаточно будет некоторой малой доли α от площади карты S, чтобы понять, как попасть туда, куда нужно. Если то, что мы ищем, окажется недалеко от сгиба или края карты, скажем ближе какого-то критического расстояния d, мы можем счесть, что закон туриста сработал. Доля таких пограничных площадей в общей площади карты даст нам вероятность испытать этот закон подлости на себе. Вот как выглядят неприятные участки карты при α = 0,5 % и всего одном сгибе (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Серым выделены «нехорошие» участки. Отдельно показан участок с полупроцентной площадью для карты размерами 40×50 см, она имеет размер, слегка превышающий 3 см