Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

3) если A и B ∈ F, то их объединение A∪B ∈ F.

Из этого определения следует, что пересечение множеств A и B принадлежит F, а также то, что объединение или пересечение любого конечного числа множеств принадлежит F. Говорят, что алгебра замкнута относительно конечного объединения и пересечения.

Набор подмножеств F называется сигма-алгеброй, если вместо 3) потребовать более сильное условие: чтобы объединение счетного числа множеств A_i принадлежало F: если A_i ∈ F, то ∪_iA_i ∈ F.

Из этого определения следует, что и пересечение счетного числа множеств принадлежит F. Иными словами, сигма-алгебра замкнута относительно счетного объединения и пересечения.

Пусть F — алгебра множеств. Функция μ, сопоставляющая любому множеству A∈F какое-нибудь неотрицательное число, называется мерой, если:

1) мера пустого множества равна 0: μ(∅) = 0;

2) для любых непересекающихся множеств A, B ∈ F, то есть A ∩ B = ∅, верно μ(A∪B) = μ(A) + μ(B). Такое свойство называется аддитивностью.

Если же взять F — сигма-алгебру, а во втором условии взять счетное количество непересекающихся множеств, то получится более сильное условие μ(∪_iA_i) = Σ_iμ(A_i), которое называется сигма-аддитивностью. Такая мера называется сигма-аддитивной.

Из определения меры следуют такие свойства:

1) если A включается в B, то мера A не больше, чем у B: если A⊆B, то μ(A) ≤ μ(B);

2) если A включается в B, то мера разности множеств равна разности мер: если A⊆B, то μ(B\A) = μ(B) — μ(A);

3) для любых A и B верно μ(A∪B)= μ(A)+ μ(B) − μ(A∩B).

Знакомые каждому примеры мер — количества (количество яблок в мешке, например), а также длины, площади, объемы фигур.

Количество элементов — так называемая считающая мера. Каждому подмножеству A поставим в соответствие количество элементов в нем: для конечных A положим μ(A) = |A|, а для бесконечных — μ(A) = ∞.

Длина на прямой, площадь на плоскости, объем в пространстве — тоже мера. Во всех случаях условие аддитивности выполняется.

Всякая ли неотрицательная числовая функция может быть мерой? Вовсе нет. Например, возраст ставит человеку в соответствие вполне определенное положительное число. Но он не подходит под определение меры. Предположение о том, что возраст может быть таковой, приводит к забавным парадоксам. Представьте себе кошку, которой пять лет. Естественно, что и правой, и левой половине животного тоже по пять лет, ведь они возникли одновременно. Если бы возраст был мерой, как, например, кошкин вес, то, согласно свойству аддитивности, кошке как сумме ее половинок должно быть уже десять лет. Подобное деление, впрочем, можно продолжить и достичь сколь угодно большого возраста. С другой стороны, мера части не может превосходить меры целого. Иначе говоря, хвост должен быть строго моложе кошки, а шерстинки на хвосте, соответственно, еще моложе. Так мы приходим к выводу, что мельчайшие клетки, из которых состоит пятилетняя кошка, должны были появиться на свет практически только что. Подобные рассуждения можно применить к таким измеримым величинам, как температура или скорость, которые не являются мерами. Два человека бегут не вдвое быстрее одного. По этому поводу в книге Артура Блоха был сформулирован закон новшества.

Если вы хотите, чтобы команда выиграла прыжки в высоту, найдите одного человека, который может прыгнуть на семь футов, а не семь человек, прыгающих на один фут.

В свою очередь, импульс (количество движения) или энергия уже обладают свойствами меры. Вес, количество денег, объем знаний, громкость (амплитуда) крика — хоть и не всегда легко измеримы, но тоже могут служить мерой на множестве людей.

Но вернемся к вероятностям. На интуитивном уровне с этим понятием знакомы сейчас практически все. Ее оценивают политологи и журналисты на ток-шоу, ее обсуждают, говоря о глобальном потеплении или завтрашнем дожде, о ней рассказывают анекдоты: «Какова вероятность встретить на Тверском бульваре живого динозавра? — Одна вторая: или встречу, или нет».