Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Вернемся к мере. Ее неотрицательность необходима, иначе можно нарушить третье из свойств мер, перечисленных выше: «Мера подмножества не превышает меры множества» (вклад штата Калифорния превысил общий рост по всей стране). Кроме того, при этом теряется польза от аддитивности и становится затруднительно вычислить меру для объединения подмножеств; таким образом, само это понятие теряет свою полезность. Число рабочих мест — полноценная мера (как количественная характеристика конечного множества), а вот рост числа рабочих мест — нет, это уже изменение меры.

Может возникнуть вопрос: а каков же на самом деле был вклад правительства штата Висконсин в борьбу с безработицей? Он имеет смысл, поскольку если бы не было этого вклада, то общий результат по стране был бы заметно меньшим. Корректно ответить несложно. Мы можем рассматривать как меру отдельно положительные и отрицательные вклады и таким образом говорить о том, что Висконсин предоставил 27 % от общего числа новых рабочих мест (результат простого суммирования всех новых работников по стране). В свою очередь, из всех новых безработных 23 % пришлось на жителей штата Миссури.

Измеряем нашу доверчивость

Вернемся к статистике. Из множества разнообразных ее задач мы рассмотрим здесь только одну: проверку статистических гипотез. Для тех, кто уже связал свою жизнь с естественными или социальными науками, в этих примерах не будет чего-то ошеломительно нового. Но это хорошая задача, показывающая ход математической мысли и не уводящая в дебри технических деталей.

Предположим, мы многократно измеряем случайную величину X, имеющую среднее значение μ и стандартное отклонение σ. Согласно центральной предельной теореме, распределение наблюдаемого среднего значения будет близким к нормальному. Из закона больших чисел следует, что его среднее будет стремиться к μ, а из свойств нормального распределения — что после n измерений наблюдаемая дисперсия среднего будет уменьшаться как σ/√n. Стандартное отклонение можно рассматривать как абсолютную погрешность измерения среднего, относительная погрешность при этом будет равна δ = σ/(μ√n). Это общие выводы, не зависящие для достаточно больших значений n от конкретной формы распределения случайной величины X. Из них следуют два полезных правила (не закона).

1. Минимальное число испытаний n должно диктоваться желаемой относительной погрешностью δ. При этом если

то вероятность того, что наблюдаемое среднее останется в пределах заданной погрешности, будет не менее 95 %. При μ, близком к нулю, относительную погрешность лучше заменить на абсолютную.

2. Пусть нулевой гипотезой будет предположение, что наблюдаемое среднее значение равно μ. Тогда, если наблюдаемое среднее не выходит за пределы μ±2σ/√n, вероятность того, что нулевая гипотеза верна, будет не менее 95 %.

При использовании этих правил неизвестное σ можно оценить в первой серии экспериментов при относительно небольших значениях n, после чего уточнить необходимое число экспериментов. Зачастую, если у нас есть предположение о законе распределения, значение σ можно однозначно вывести из значения μ.

Если заменить в этих правилах 2σ на 3σ, степень уверенности вырастет до 99,7 %. Это очень сильное правило, которое в физических науках отделяет предположения от экспериментально установленного факта. В атомной физике критерий истинности — еще более сильное правило 5σ.

Для нас полезно будет рассмотреть приложение этих правил к распределению Бернулли с параметром, которое описывает случайную величину, принимающую ровно два значения, условно «успех» и «неудача», с вероятностью успеха p и неудачи 1 — p. В этом случае μ = p и σ = p(1 — p), так что для необходимого числа экспериментов и доверительного интервала получим такие выражения:

В главе 2 мы упомянули результат, опубликованный Перси Диаконисом и говорящий о принципиальной, хоть и небольшой, нечестности процесса подбрасывания монеты. Напомню: вероятность того, что она выпадет той же стороной, которая была сверху при подбрасывании, оказалась равна 51 %. Насколько велико такое отклонение? Можно ли его заметить в экспериментах?