Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Под знаком пропорциональности здесь скрывается константа, которая называется формфактором. Она зависит от формы тела и размерности пространства, но не зависит от размеров: для куба она равна 1, для шара того же размера выражается сложнее — через гамма-функцию: π^m/2/Γ(m/2+1), которая для целых аргументов сводится к факториалу числа (Γ(n+1) = n!) и т. д. Ни конкретная форма, ни этот коэффициент для анализа нам не нужны. Под сплошным я понимаю тело, не относящееся к фрактальным. Такие объекты отличаются от сплошных именно тем, что их обобщенный объем пропорционален их размеру в некоторой дробной степени, отличной от размерности вмещающего пространства. С примерами фрактальных объектов — множеством Жулиа и губкой Менгера — мы уже встречались раньше, когда рассматривали подмножества нулевой меры. Может показаться, что это экзотика, но природа находит фрактальные решения для очень многих задач: от роста кристаллов до разряда молнии, от корневой системы растений до устройства наших легких. Но, повторюсь, здесь мы будем рассматривать только сплошные тела.

С объемом как с мерой мы разобрались в главе 1, а что такое характерный размер? Мы можем сказать, что человек имеет характерный размер порядка метра, а муравей — миллиметра. В то же время характерный размер нашей Галактики — 100 тысяч световых лет. Все эти объекты имеют весьма сложную форму, но когда мы говорим о характерных размерах, она нас не интересует. Это понятие можно строго определить как среднее геометрическое размеров тела в разных направлениях или как диаметр шара, имеющего такой же объем, как и рассматриваемое тело.

Объем корочки равен следующей разнице:

V_корки = V_общ — V_внутр,

а отношение объема корки, составляющей долю δ от размеров тела, к общему объему выражается так:

Как хорошо получилось — мы перешли от пропорциональности к точному равенству. Все благодаря отношениям, в которых сократились неизвестные нам формфактор и размеры тела. Таким образом, полученное соотношение объема корки и объема тела универсально и годится для арбузов сколь угодно сложной формы.

Вот как выглядит график роста доли пятнадцатипроцентной по радиусу корочки арбуза в его объеме при дальнейшем увеличении размерности пространства (рис. 5.2).

Рис. 5.2. В четырехмерном пространстве наш условно тонкокорый арбуз оставит нам уже лишь половину мякоти, а в одиннадцатимерном мы сможем полакомиться 15 % арбуза, выбросив корочку, составляющую 15 % его радиуса!

Итак, сейчас мы готовы сформулировать глубокомысленный закон арбузной корки:

Покупая многомерный арбуз, ты приобретаешь в основном его корку.

Мне одному кажется, что я нормальный?

Обидно, конечно, но какое это имеет отношение к нормальности нашего мира и законам подлости? Увы, именно этот закон препятствует отысканию так называемой золотой середины, обесценивает результаты социологических опросов и повышает роль маловероятных неприятностей.

Дело в том, что пространство людей со всеми их параметрами существенно многомерно. В качестве различных размерностей можно рассматривать и очевидные рост, вес, возраст и достаток, а также уровни интеллектуального (IQ) и эмоционального (EQ) развития; наконец, наблюдаемые, хоть и плохо формализуемые черты лица либо характера — такие как уровень болтливости, упрямства или влюбчивости — тоже относятся к нашим параметрам. Мы без труда насчитаем с десяток-полтора величин, характеризующих человека. И для каждого из этих параметров существует некая статистически определяемая «норма» — самое ожидаемое и, более того, часто наблюдаемое значение. Сколько же в таком богатом пространстве параметров окажется людей, типичных во всех отношениях? Выражение, которое мы использовали для определения отношения объемов корки и арбуза, можно использовать и для вычисления вероятности попасть в число хоть в чем-то, но «ненормальных». Если мы сочтем все параметры независимыми (для некоторых пар параметров это может быть верно только приближенно), вероятность удовлетворить всем критериям типичности одновременно равна произведению вероятностей оказаться типичным по каждому критерию отдельно.