Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Кроме того, Тодд Роуз приводит историю из мирной жизни. Газета Plain Dealer объявила конкурс среди женщин и девушек. Им предлагалось прислать параметры своего тела, и победить должны были те представительницы прекрасного пола, которые окажутся ближе всего к параметрам «типичной женщины» Нормы, увековеченной в статуе из медицинского музея Кливленда (рис. 5.5). Норма родилась вследствие усреднения 15 000 женщин разного возраста и должна была олицетворять идеал, «определенный самой Природой». Всего рассматривалось девять параметров, и из 3864 конкурсанток ни одна не попала в средние значения. По пяти критериям «нормальными» оказались лишь 10 % участниц, что дает нам возможность оценить использованную жюри «толщину корки» в 75 %. С таким суровым подходом надеяться найти хотя бы один «идеал» в пространстве девяти измерений можно, лишь рассмотрев 260 тысяч красавиц. На все человечество таких «идеальных» барышень наберется от силы пара тысяч человек.

Рис. 5.5. Почти коллинеарные и почти ортогональные векторы в двумерном и трехмерном пространстве

Далее Роуз отмечал: Дэниэлс и организаторы конкурса получили одинаковый результат, но сделали совершенно разные выводы. Большинство врачей и ученых того времени не сочли, что Норма представляет неправильный идеал. Наоборот: они решили, что большинство американских женщин нездоровы и не поддерживают нормальную форму. Одним из них был доктор Бруно Гебхард, директор медицинского музея Кливленда. Он сокрушался, что послевоенные женщины малопригодны к службе в армии, и упрекал их, ссылаясь на плохую физическую форму, в том, что они «плохие производители и плохие потребители». Дэниэлс говорил прямо противоположное: о том, что усреднение людей — ловушка, которая многих приводит к просчетам. Ведь почти невозможно найти среднего летчика не в силу каких-то индивидуальных черт его группы, а из-за большого разброса параметров в размерах тела у людей.

Тот самый закон подлости

Один из классических законов подлости, сформулированный в сердцах инженером Эдвардом Мёрфи, гласит:

Все, что может пойти не так, пойдет не так.

Сейчас мы можем взглянуть на него не только иронично.

Пусть для выполнения некоторой работы требуется совершить ряд действий, и для каждого из них существует маленькая, но отличная от нуля вероятность неудачи. Какова вероятность того, что все задуманное пройдет без сучка без задоринки? Мы имеем дело с пересечением множества событий, каждое из которых соответствует успешному завершению того или иного этапа работы. Как посчитать вероятность для пересечения двух событий, мы уже знаем: для этого нужно перемножить вероятность второго события при условии, что первое случилось, на вероятность первого события:

P(A₁∩A₂) = P(A₂|A₁)∙P(A₁).

Операция пересечения ассоциативна: мы можем в произвольном порядке расставлять скобки для трех и более пересекающихся событий.

A₁∩A₂∩A₃ = (A₁∩A₂)∩A₃ = A₁∩(A₂∩A₃)

Отсюда легко получить общую формулу для пересечения произвольного числа событий:

P(A₁∩A₂∩…∩A_n) = P(A₁|A₂∩…∩A_n)∙P(A₁|A₃∩…∩A_n)∙…∙P(A_n)

Если события независимы, то мы получаем произведение вероятностей наступления каждого из них:

P(A₁∩A₂∩…∩A_n) = P(A₁)∙P(A₂)∙…∙P(A_n)

Но для нас важно, что вероятности, условные или нет, по определению должны быть меньше единицы, а значит, мы вправе использовать закон арбузной корки: чем больше число шагов, тем существеннее роль границ. В нашем случае границами становятся нештатные ситуации. Достаточно дюжины шагов, чтобы средняя вероятность такой ситуации или ошибки в 5 % на одном шаге выросла до вероятности провала всего дела!

Эти наши рассуждения чрезвычайно просты, а закон Мёрфи — скорее эмоции, чем объективность, да и в целом кажется трюизмом. Но все же именно с этого наблюдения в сороковые-пятидесятые годы двадцатого века началась новая большая наука: теория надежности. Она добавила в рассмотрение время, взаимосвязь элементов систем, экономику, а также человеческий фактор, и нашла применение за пределами инженерных наук: в экономике, теории управления и, наконец, программировании. Мы еще вернемся к этой теме, когда будем изучать проклятие режиссера, заставляющее принтер барахлить именно в день сдачи проекта. Закон Мёрфи с учетом времени — поистине страшная сила!