ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

- Получилось одно i, - сказал Илюша в некотором недоумении. - Что это за вектор, у которого только одно i осталось?

Затем Илюша внимательно посмотрел на чертеж.

- А-а! - сказал он. - Понял! Это единичный вектор, направленный прямо по мнимой оси. Единичный он потому, что около i стоит множителем единица. А так как мнимая ось перпендикулярна к действительной, то, значит, этот вектор образует с ней угол в девяносто градусов. И выходит, что действительно угол удвоился.

- А вектор?

- А вектор повернулся против часовой стрелки на сорок пять градусов. А если еще раз умножить? Можно, я попробую?

- Сделайте ваше одолжение! - отвечал Мнимий.

Илюша умножил еще раз. Вышло:

- Что-то я не пойму, - сказал Илюша.

Но на чертеже он увидел, что вектор повернулся теперь на 135° по отношению к положительному направлению действительной оси, н, следовательно, к 90° прибавилось еще 45°.

- А ведь верно! - сказал Илюша.

- 402 -

- Ну вот. Половина дела сделана, - сказал, улыбаясь, Мнимий. - Теперь вы поняли, почему мы можем так поворачиваться вокруг начала координат. А теперь решим обратную задачу. Что значит извлечь корень из комплексного числа? Поскольку возведение в степень и извлечение корня суть обратные действия, мы можем считать, что и в области комплексных чисел остается в силе определение корня как обратного действия. А если это так, то как теперь извлечь корень из единичного комплексного вектора?

- Мне кажется, что раз при возведении в степень углы умножаются, то, - продолжал Илюша, - это похоже на действия со степенями. А значит, при извлечении корня углы векторов делятся. Так?

- Молодчина! - отвечал Мнимий.

- Но только как же тогда я, извлекая из одного единственного i корень, получу такое выражение:

хотя как раз так и должно быть, потому что, когда я возводил это выражение в квадрат, то получил i?

- Очень просто, - сказал Мнимий, - стоит только эго "одно-единственное i" написать в виде комплексного числа:

0 + i•1.

А это можно изобразить и так:

cos φ + i sin φ,

то ясно, что φ равен девяноста градусам. Поделите φ пополам, и все будет в порядке. Заметьте кстати, дружок, что если вы еще раз возведете в квадрат, то как раз и получите:

i² = cos180° + i•sin180°.

Наше чудесное равенство i² = -1, таким образом, означает, что, повернув вектор дважды на прямой угол, вы повернете его в итоге на сто восемьдесят градусов, то есть переведете его в вектор противоположного направления. Но тут есть еще одно весьма важное обстоятельство.

- 403 -

Ведь вы, наверно, помните, что извлечение квадратного корня для вещественных чисел есть операция двузначная, то есть дает два ответа: один с плюсом, а другой с минусом. Как же это отразится в нашей комплексной области? Ясно, что если вектор повернется на целый круг, то он снова попадет на старое место...

Вектор немедленно плавно проплыл целый круг, двигаясь вперед против часовой стрелки, и застыл опять на старом месте. Постояв так минутку, он снова проплыл целый круг в том же направлении и снова остановился на старом месте. А затем повернулся так же еще в третий раз.

- Ясно? - спросил Мнимий.

- Как будто ясно, - сказал Илюша. - К чему он это показывает?

- А вот к чему. Очевидно, что комплексное число не изменит своего значения, если угол вектора, или, как мы говорим, его аргумент, увеличить на 2π, то есть на триста шестьдесят градусов, или на величину, кратную последней. Другими словами, число

(cosφ + i sinφ)

и число

[cos (φ + 2π) + i sin (φ + 2π)]

отличаются только начертанием, а геометрически это одно и то же.

- Конечно, - отвечал Илюша.

- Так вот, если теперь мы извлекаем из единичного комплексного числа корень, скажем, второй степени, то возьмем это комплексное число в двух написаниях, то есть:

I) cosφ + i sinφ,

II) cos (φ + 2π) + i sin (φ + 2π),

и из каждого извлечем квадратный корень путем деления его аргумента на два. Если мы это проделаем с тем же самым комплексным числом, то будем иметь:

I) cos90° + i sin90°,

II) cos450° + i sin450°.

Прибавлять еще по 2π здесь, как вы увидите, уже нет смысла, так как новых результатов не получится. Рассмотрим, что выйдет при делении угла пополам. Во-первых, мы получили тот же единичный вектор с углом в сорок пять градусов, который уже видели, а кроме того, еще получился другой вектор с аргументом в двести двадцать пять градусов.

- 404 -

Это и есть второе значение корня. Заметьте, что эти два вектора делят окружность пополам. Ну вот, теперь все ясно, и мы можем приступить к нашей работе.

Этот круг единичного радиуса для изготовления нашей Златоиссеченной Звезды надлежит разделить на пять частей. Это все равно, что решить уравнение

х⁵ - 1 = 0

или найти все пять корней пятой степени из единицы. Мы уже решали при прошлой нашей встрече в Схолии Седьмой нечто в этом роде, разлагая на множители разность кубов x³ - 1. Приступая к извлечению всех корней пятой степени из единицы, мы попросим нашего друга Вектора нам их найти.

Ну-ка! Против часовой стрелки кругом марш!