ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

- Вот это да! - отвечал Мнимий. - Так и запишем. Итак, каждый комплексный человечек может быть рассматриваем как сумма вещественной составляющей и мнимой, что нам давно известно из формулы:

a + bi

А теперь вы видите, как это можно изобразить геометрически.

Далее мы попросим нашего друга комплексного Вектора уменьшиться так, чтобы он был ростом в одну единицу.

Вектор-Наклонная-Стрелка немедленно сделался покороче.

- Как раз! - сказал Мнимий. - Ровно единица!

Осевые стрелки тоже сделались соответственно короче.

- Ну-с, - сказал Мнимий Илюше, - вы ничего не замечаете?

- Не знаю, - отвечал Илюша.

Тогда Вектор-Наклонная-Стрелка быстро повернулся против часовой стрелки, и кончик его туфелек начертил круг.

- А теперь? - спросил Мнимий.

Картина перед Илюшей несколько изменилась. Линии осей, уходившие за черту круга, исчезли. Все линии стали очень тоненькими, исключая проекцию Вектора-Наклонной-Стрелки на действительную ось и того перпендикуляра, который опускался от конца Вектора на конец этой проекции. Эти линии, наоборот, стали очень толстыми и черными.

- Не узнаете? - спросил Мнимий.

- Узнаю как будто, - сказал Илюша. - Это синус и косинус.

- Ага! - вскричал Мнимий. - Они самые. Ну-ка, прикиньте, что бы это могло значить алгебраически? Как выходит, что проекции единичного вектора суть синус и косинус?

- Потому, вероятно, - отвечал Илюша, - что синус в квадрате и косинус в квадрате, как катеты прямоугольного треугольника, равны гипотенузе в квадрате, а она у нас равна единице. Радиус ведь и есть единица. Вектор в данном случае и есть радиус.

- Ну что ж, - отвечал Мнимий, - вы правы. Но давайте разберемся в этом. Если нам дан на комплексной плоскости, которую вы видите сейчас перед собой, некий комплексный вектор, то ответьте, чем он, по-вашему, отличается от обыкновенных чисел?

- Он как сила в механике, - ответил Илюша, =- имеет направление.

- 399 -

Мнимая ось

- Мне очень нравится ваш ответ, - вежливо отвечал Мнимий, - но давайте посмотрим еще на наш чертеж и разберем все подробней. Итак, значит, длину вектора мы...

- ... определяем по теореме Пифагора, - подхватил Илюша.

- Любого вектора?

- Любого.

- Напишите! - сказал Мнимий.

Илюша написал:

r = √(a² + b²).

Что это за линии OB и BA?

Кто скажет?

- Отменно! - произнес Мним. - Далее, если вектор наклонен по отношению к положительному направлению вещественной оси под углом φ, то как бы вы определили проекции вектора на оси, исходя из длины его и данного угла?

- По-моему, надо вот как написать:

а = r cos φ;

b = r sin φ.

- Справедливо! А что если нам теперь взять наш вектор в обычной форме:

a + bi

и подставить в его выражение новые значения для а и b?

а + bi = r cos φ + (r sin φ) i = r (cos φ + i sin φ).

- Теперь, - заявил Мнимий, - получилась так называемая тригонометрическая форма комплексного числа.

Ясно, что множитель перед скобкой есть длина вектора, или его модуль. А что же стоит в скобках?

- 400 -

Угол с положительным направлением вещественной оси определяет направление вектора.

- Мне кажется, что это тоже вектор.

- Справедливо. А длина его?

- Равна единице.

- Точно. Потому он и называется единичным вектором.

А величина, определяющая направление вектора, именуется его аргументом. Очевидно, О любой вектор можно изобразить, выбрав соответствующий аргумент и приличный случаю модуль.

- Ясно, - отвечал Илюша. - Умножил на сколько надо и получил из единичного вектора такой, какой требуется.

- Точно, правильно, прекрасно! - произнес Радикс.

- В таком случае давайте рассмотрим, что будет с единичным вектором, если его умножить на самого себя:

(cosφ + i sin φ) (cosφ + i sinφ) = (cos²φ-sin²φ)+2i sinφ•cos φ.

- Ну, Илюша, - сказал Радикс, - глянь-ка повнимательней: тебе эта формула ничего не говорит?

Илюша пожал плечами.

- Тогда вот что, - сказал Мнимий Радиксович. - Может быть, в дальнейшем вы заглянете в учебник тригонометрии и узнаете, что разность квадратов косинуса и синуса есть косинус двойного угла φ, то есть угла, равного двум φ. А удвоенное произведение косинуса φ на синус φ есть аналогично синус угла двух φ. Если записать, то выйдет:

Минуя некоторые длинные выкладки, сделаем такое общее заключение: возвести единичный вектор в степень n значит увеличить его угол в n раз. Вот что означает геометрически возведение единичного вектора в степень.

- Как будто, - сказал очень нерешительно Илюша, - я это где-то даже видел.

- 401 -

- Весьма вероятно! - подхватил Мнимий. - И увидите, наверно, еще не раз. Это ведь не так трудно проверить. Допустим, что наш единичный вектор наклонен к положительному направлению действительной оси под углом в сорок пять градусов. Тогда его косинус, то есть его проекция на действительную ось, равен...

- ... половине корня из двух. Такой же и синус будет.

- Давайте умножим такой вектор на самого себя.

Илюша взял мел и перемножил

OA = 1; AB = sinα; OB = cosα