ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Вектор стал сперва на нуль, затем повернулся и стал примерно на половине второго квадранта круга. Потом начал поворачиваться далее и остановился в начале четвертого квадранта. Затем двинулся снова вперед и остановился в первом квадранте. Двинулся еще раз и остановился в третьем квадранте.

- Трудно понять! - сказал со вздохом Илюша.

- Не так уж трудно, - отвечал Мнимий Радиксовнч. - Стоит для этого только рассмотреть, как меняется наш аргумент. Он будет:

φ = 0; 2π; 4π; 6π; 8π,

то есть мы прибавляем к нулю четыре раза по 2π, или по триста шестьдесят градусов. А теперь какие векторы получатся после деления аргумента? А вот они:

I) cos0° + i sin0° (φ = 0°)

II) cos2/5π + i sin2/5π (φ = 144°)

III) cos4/5π + i sin4/5π (φ = 288°)

IV) cos6/5π + i sin6/5π (φ = 432°)

V) cos8/5π + i sin8/5π (φ = 576°)

- 405 -

Очевидно, что углы их будут: 0°, 72°, 144°, 216° и 288°. Мы попросим теперь Вектора повторить его путешествие по кругу и останавливаться каждый раз у всякого деления.

Вектор исполнил все, что ему велели. При этом вместо одного вектора их оказалось пять. Окружность была разделена ровно на пять частей.

- Теперь проведем прямые! - сказал Мнимий.

Он соединил точки прямыми, и получился правильный пятиугольник, вписанный в круг. Тут Илюша вспомнил, как ему говорили, что если разложить разность кубов на три множителя, то тем самым выяснится, как вписать треугольник в круг. Вот, оказывается, в чем дело!

- Кстати, - добавил с мягкой улыбкой Мнимий, - заметьте, что именно великий Гаусс указал и нашел, что такое деление круга связано с построением правильных многоугольников!

- Вон как! Это, значит, важное дело?

- А как вы думаете! - рассмеялся Мнимий. - Однако, - произнес он, осмотрев еще раз свой чертеж. - Пожалуй, придется немного увеличить, да надо еще наш пятиугольник повернуть, чтобы и он стал симметрично. Ну-ка, ребятки-векторы, увеличьтесь разика в два с половиной да, кстати, повернитесь на восемнадцать градусов!

Немедленно все пять векторов вытянулись и стали длиннее в два с половиной раза. Вместе с ними, конечно, увеличился пятиугольник и повернулся на 18°. В то же мгновение "Круг № 1" стал "кругом № 2".

Круг № 1

- Это, - пояснил Радикс, - тоже умножение, притом на комплексное число, модуль которого 2,5, а аргумент - восемнадцать градусов. Комплексные числа могут, таким образом, делать еще и преобразования подобия.

- Совершенно справедливо! - отвечал Мнимий. - Преобразования подобия - это, можно сказать, наша специальность. Помните ли вы сказку Шарля Перро про Кота в сапогах? Так вот, дело там кончается тем, что Людоед Чародей обращается во льва, а потом в мышь, а Кот в сапогах бросается на мышь, и тут-то ей и конец. Помните?

- Ну да, помню, - отвечал Илюша. - А что?

- Неужели вы не догадались, что это мы действовали в этом случае и провели Перро?

Круг № 2

- Как так?

- 406 -

- Очень просто! Никакой там мыши не было. Подумайте, какая канитель-превращать, то есть преобразовывать, льва в мышь! Мы поступили гораздо проще: просто подобно уменьшили льва до размеров мыши, и вот этого-то подобно преобразованного льва и загрыз Кот в сапогах. А так как все произошло очень быстро, то и возникла эта легенда о мыши.

- Вот как?.. - задумчиво произнес сбитый с толку Илюша. - А если наоборот, из мыши сделать льва?

- Вон чего захотели! - засмеялся Мнимий. - Это будет немного потруднее. Сам Галилей это признал. Дело в том, что если мышь подобно преобразить в такого большого зверя, как лев, то она... сломается! Ее тонкие косточки не выдержат тяжелого веса. Механическое подобие - вещь совсем не простая. .. Ну, а теперь приступим к сооружению Златоиссеченной Звезды. Соединим прямыми противолежащие точки.

Когда Мнимий начертил это, то в круге получился звездчатый пятиугольник. И все векторы исчезли.

- Позвольте, - воскликнул Илюша, - да ведь это наша Красная Звезда!

- Она же и Золотая, - улыбаясь, ответил Мнимий.

- Ну да, и Золотая! Но вы-то почему ее называете Златоиссеченной?

- Для этого, - ответил Мнимий, - у нас имеются серьезные причины. Если мы рассмотрим нашу звезду повнимательнее, то найдем в ней немало вещей, в высшей степени глубоких и поучительных.

Мнимий расставил буквы у углов и получил чертеж, который нарисован на этой странице.

- Если мы возьмем одну из прямых, - начал Мнимий, - составляющих наш звездчатый пятиугольник, например прямую BGFE, то ясно из чертежа, что отрезки BG и FE равны между собой, ибо треугольники BGA и AFE равны. Теперь мы назовем каждый из этих отрезков буквой у, а отрезок KF буквой z. Очевидно, что и остальные схожие отрезки таковы же, то есть GA, FA,FE, КЕ, ID, 1С, ... , и все они равны у. Совершенно так же FG, KI, III... равны z.

- 407 -

Ясно, что треугольник GAF равнобедренный. Угол при вершине А ранен одной пятой ста восьмидесяти градусов, так как он вписанный и опирается на дугу, равную одной пятой окружности. Ясно?

- Ясно, - отвечал Илюша.