Восхождение на гору Невероятности

Из-за того, что раковины расширяются по краям, все они имеют примерно одинаковую форму – объемной логарифмической (изогональной) спирали. Не путайте логарифмическую спираль с архимедовой, по которой матрос укладывает на палубе корабельный канат. Количество витков каната не имеет значения, ширина очередного витка постоянна и равна толщине каната. В логарифмической спирали, напротив, по мере удаления от центра кривая разгибается. Одни спирали разгибаются больше, другие меньше, но одна и та же – всегда одинаково. На рис. 6.2 показаны архимедова спираль и две логарифмические, раскрытые в разной степени.

Рис. 6.1. Раковина наутилуса в разрезе. Моллюск всегда выбирает для жизни самую последнюю, новенькую камеру.

Рис. 6.2. Типы спирали: (а) архимедова; (b) логарифмическая с низкой степенью расширения; (с) логарифмическая с высокой степенью расширения.

Раковина нарастает не вдоль линии, а как труба. Для нашего случая примем, что сечение трубы круглое, хотя далеко не всегда раковина напоминает валторну. Условимся также, что спираль на рисунке – это внешняя сторона трубы. Возможен вариант, когда труба расширяется ровно так, чтобы ее внутренняя поверхность прилегала к предыдущему витку (рис. 6.3а). Но это необязательно. Если диаметр трубы увеличивается медленнее, чем раскручивается внешний край спирали, между соседними витками остается пробел, который тоже будет увеличиваться (рис. 6.3b). Чем шире пробел, тем более вероятно, что такая “разреженная” спираль подходит не улитке, а червю.

Чтобы описать форму спирали, Рауп ввел три параметра – W, D и T. Надеюсь, меня не осудят, если я назову их расширение, червячность (характеризует степень извива) и конусность. Так легче будет запомнить, какой коэффициент к какому свойству относится, чем если бы мы оперировали только буквенными обозначениями. Расширение показывает, с какой скоростью раскручивается (раскрывается) спираль. При расширении, равном 2, интервал между витками увеличивается вдвое после каждого полного оборота. Этот случай проиллюстрирован на рис. 6.2b. Спираль на рис. 6.2b с каждым новым витком удваивается в поперечном сечении. Спираль на рис. 6.2с раскручена еще сильнее – ее расширение равно 10. Если описать по этой спирали полный виток, ее общая ширина увеличится в 10 раз, хотя в природе спираль обрывается задолго до завершения витка. Скажем, расширение раковины двустворчатого моллюска сердцевидки измеряется тысячами, она раскрывается так быстро, что до настоящей спирали дело практически не доходит.

Рис. 6.3. Спирали одного типа при разных размерах трубы: (а) труба широкая, поэтому последовательные витки уложены вплотную; (b) труба узкая, поэтому между витками остается свободное пространство.

Я бы не хотел, чтобы вы решили, будто физический смысл расширения заключается в скорости увеличения диаметра трубы. Для этого есть второй параметр – червячность. Труба не всегда занимает все очерченное раскрытой спиралью пространство, поэтому нам нужен этот показатель. Раковина может быть неплотной, как на рис. 6.3b. Спирали на рис. 6.3а и 6.3b имеют одинаковое расширение (2), но для рис. 6.3b червячность больше, чем для рис. 6.3.а – 0,7 и 0,5 соответственно. Червячность 0,7 означает, что расстояние от центра спирали до внутренней границы трубы составляет 70 % расстояния от центра спирали до внешней границы трубы. Для любой части трубы, где бы вы ни измеряли внутренний и внешний радиусы, червячность постоянна (непонятно, почему так должно быть, но в природе это правило соблюдается, и по умолчанию мы будем его придерживаться). Очевидно, что при большом значении червячности – скажем, 0,99 – труба будет тонкой, почти нитевидной, так как внутренний радиус будет равен 99 % внешнего.

При какой червячности витки будут плотно прилегать друг к другу, как на рис. 6.3а? Это зависит от расширения. Точнее, критическое значение червячности для плотной спирали обратно пропорционально расширению – иначе говоря, равно единице, деленной на расширение. В обоих случаях на рис. 6.3 расширение равно 2, поэтому критическое значение червячности для плотно уложенных витков равно 0,5, что мы и имеем для спирали на рис. 6.3а. На рис. 6.3b червячность выше критической, поэтому спираль раскрыта сильнее и интервалы между витками больше. Для раковины с расширением 10, как на рис. 6.2c, критическое число червячности было бы 0,1.