Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Путь частицы при броуновском движении не просто включает в себя несколько углов. Вся их жизнь – острые углы. Каждое мгновение всюду присутствующая пыль делает новое и совершенно непредсказуемое движение в безумном танце. Поскольку производная – всего лишь скорость, броуновское движение – это что-то вроде неподвижного движения, глухой отголосок деятельности, которую традиционный математический анализ никак не может описать, разве что сказать «Вау!», «Ого!» или «Что?!».

Мне нравится необычность броуновского движения – пути, который ни одна рука не может зарисовать, движения, которое нельзя обозначить никакой скоростью. Именно поэтому власти позволили Броуну скрыться с фрагментом Большого сфинкса? Возможно, они чувствовали, что его работа, как загадки сфинкса и математический анализ, была игрой парадоксов и древних головоломок – одновременно совершенно невозможной и полностью реальной.

Х Зеленоволосая девушка и многомерная улитка

Где-то в далеком будущем, когда проводить отпуск с семьей на Марсе стало обычным делом, а то, что кто-то носит зеленые волосы, припорошенные жемчужной пылью, никого не удивляло, жила-была счастливая в браке жена по имени Оона. Ее муж Джик был «самым прекрасным мужчиной во всей Солнечной системе», хотя главным доказательством этого заявления было то, что «он всегда помнил о годовщинах», так что, возможно, конкурентов у него было не очень много. Далее мы узнаем, как Джик прилагал усилия для того, чтобы «поделиться своими интересами», и регулярно давал Ооне уроки математики.

В самые мирные моменты их медового месяца (а они отправились в недорогое стратосферное путешествие вокруг света) он пытался научить ее математическому анализу.

Он объяснял все, он объяснял все про все с самого начала до конца. Он объяснял так много, что она путалась, слушая его.

Как вымышленный персонаж, придуманный в 1948 г., Оона понятия не имела о том, что значит «самоутверждаться за счет женщины». Вместо этого она с радостью принимала уроки Джика и считала себя счастливицей. «Вот здорово! – думала она. – Множество мужей никогда не говорят со своими женами, только жалуются на плохую еду».

Однажды Джик пришел домой с великолепным подарком: «самым лучшим роботизированным мозгом, который когда-либо придумывали». Устройство называлось «визи-мат». Джик объяснил:

Ты пишешь на листочке любое математическое выражение, скармливаешь его машине… и получаешь перевод на язык визуальных представлений того выражения, которое тебя интересует.

В отличие от других подарков Джика визи-мат действительно помогает Ооне. И для высокотехнологичной машины вымышленного будущего он действует достаточно простым способом, показывая, как умножение связано с прямоугольниками.

Например, то, что 5 × 4 = 20, лучше всего можно понять, представив прямоугольник 5 × 4.

Это же работает и для умножения дробных чисел, скажем 6 × 2,5. Вы получаете 12 целых квадратов и шесть половинок, а всего – 15.

Так можно даже объяснить, как «возведение в квадрат» получило свое название, поскольку удвоение количества само по себе создает квадрат.

«Учить математике без иллюстраций – это преступление, – говорил Бенуа Мандельброт[22], – смехотворное занятие». Но каким-то образом такие учителя, как я, часто не могут следовать этому правилу. В том XXI в., где мы обитаем и где есть такие инструменты, как Wolfram|Alpha[23] и Desmos[24], которые могли бы посрамить визи-мат, мы в своей профессиональной деятельности остаемся теми же Джиками.

Возьмем одно из первых правил курса математического анализа: производной функции х² является 2х. Должен отметить, что, объясняя ученикам этот факт, я всегда шел по алгебраическому пути:

Почему я продолжаю оставаться Джиком? Неужели стандартизированное обучение неумолимо ведет к механическому запоминанию? Или это связано с тем, что мы, учителя, не знаем хороших наглядных материалов, так как сами являемся продуктами системы? Или это затянувшееся влияние Бурбаки, радикальной группы математиков ХХ в., чей боевой клич «Смерть треугольникам!» предупреждал, что визуальное восприятие вводит в заблуждение, а абстрактный символизм – единственная твердая почва под ногами?

Какой бы ни была причина, визи-мат предлагает альтернативу. Начнем с возведения в квадрат, умножения х на х.

Производная, как вы, возможно, помните, – мгновенный уровень изменения. Следовательно, необходимо задать вопрос: «Если мы немного изменим х, на сколько изменится х²?»

Так давайте пойдем вперед и немного увеличим х, назвав это dx.