Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Несмотря на величественное название, теорема о среднем значении довольно проста. Представьте себе, что у вас есть некие количественные изменения в определенный период времени – рост, падение, падение, рост. Теорема о среднем значении утверждает, что где-то среди постоянного изменения и движения есть магическое мгновение – момент, когда значение функции равно общему среднему значению.

Возьмем, например, путешествие на автомобиле. Вы проезжаете 200 км за четыре часа, ваша скорость все время меняется. Если вы возьмете на себя труд ее посчитать, то средняя скорость получается 50 км/ч.

Теорема о среднем значении утверждает, что, по крайней мере, в одно прекрасное мгновение во время вашего путешествия вы ехали точно со скоростью 50 км/ч.

Это действительно очень простая логика. Ехали ли вы со скоростью выше 50 км/ч все четыре часа? Нет, тогда бы вы проехали больше 200 км. Ехали ли вы со скоростью ниже 50 км/ч? Снова нет, тогда бы вы проехали меньше 200 км. Была ли ваша скорость все время ниже или выше 50 км/ч и никогда не достигала этой отметки? Нет, если только вы не сидите за рулем тюнингованного DeLorean. Таким образом, мы приходим к выводу, что, по крайней мере, в один момент вы двигались точно со скоростью 50 км/ч.

Еще один пример – скажем, температура воздуха меняется в течение дня. Она повышается. Она понижается. Она возвращается к прежней отметке. Вы даже можете немного поговорить об этом, поскольку «обсуждение погоды» входит в список задач по умолчанию вашего социального программирования.

А теперь как же мы определим общее среднее значение температуры?

Чтобы найти среднее нескольких чисел, мы их складываем, а потом делим на количество данных. Если в результате трех последних тестов вы получили 70, 81 и 89[60], то ваше среднее – это их сумма (240), деленная на количество данных (3). Это дает вам 80. Но в случае с температурой мы имеем бесконечное множество данных в каждый конкретный момент дня. Чтобы суммировать их все, нам понадобится интеграл.

Заметьте, что на чертеже внизу интеграл меньше, чем прямоугольник слева, и больше, чем прямоугольник справа, точно так же как средняя температура ниже максимума, но больше минимума.

О чем говорит нам теорема о среднем значении? Просто о том, что в какой-то момент дня температура равнялась среднему значению.

Ну хватит про теорему о среднем значении. Теперь обратимся к самому Дэвиду Фостеру Уоллесу, чтобы посмотреть, что он сделал с этой маленькой простой теоремой. На одной из страниц «Бесконечной шутки» мы находим «сложную детскую игру» под названием «Эсхатон». Для нее требуется «400 теннисных мячей, таких побитых и лысых, что их больше нельзя использовать для подач». Каждый из них символизирует собой ядерную боеголовку. Игроки делятся на команды (представляющие мировых политиков), а затем получают причитающееся количество боеголовок, высчитанное с помощью теоремы о среднем значении для интегралов.

То самое примечание находится в конце книги. Именно из него мы узнаем, что для каждой нации соответствующий выборочный показатель для определения ядерного арсенала высчитывается по формуле Чем больше это число, тем выше ядерная мощь. Но вместо того, чтобы распределять теннисные мячи, обозначающие боеголовки, в соответствии с текущим значением, «Эсхатон» использует скользящий средний показатель за последние несколько лет, расчеты которого (согласно рассказчику в романе Уоллеса) требуют использования теоремы о среднем значении.

Если все вышеизложенное не имеет для вас никакого смысла, не волнуйтесь. Дело в том, что ничего из этого не имеет никакого смысла ни для кого.

Теорема о среднем значении относится к «теоремам существования». Она говорит нам о том, что в какой-то момент температура должна достичь среднего дневного показателя. Она не говорит и не может говорить о том, где или когда наступит этот момент. Теорема только указывает на «стог» времени и уверяет нас, что наша иголка находится где-то среди этого бесконечного множества мгновений.

Я несколько раз перечитал примечание Уоллеса, чтобы удостовериться, что он действительно использует теорему о среднем значении для вычислений и что это и вправду не срабатывает. Я даже не пытался обсуждать плохо выбранные статистические данные (а зачем наказывать страны за военные расходы не на ядерное оружие?) или недостоверное объяснение теоремы о среднем значении (автор настаивает, что для вычисления среднего нужны только минимум и максимум). Весь этот абзац напоминает погоню за эффектом на уровне Джуда Ванниски.

Это только усилило мое стремление найти ответ на вопрос: «Зачем, Дэвид Форест Уоллес, зачем?!»