Все формулы мира. Как математика объясняет законы природы

Иногда в основе лежит не совсем физическая гипотеза. Иначе говоря, исходно размышления не касаются, например, непонятных свойств известных объектов, которые надо объяснить. Начальным пунктом рассуждения может быть собственно какое-то уравнение. Разница в подходе (начинать с физики или математики) может объясняться как случайными обстоятельствами, так и личными склонностями и предпочтениями, т. е. индивидуальным стилем рассуждений и научной работы конкретного ученого. Но все равно нужна новая идея (теперь уже более математическая, чем физическая) – важно обратить внимание на какое-то ранее незамеченное свойство формулы.

Итак, пусть у нас есть идея и мы смогли записать исходные формулы. Наша цель – получить числа, которые можно проверить с помощью экспериментов (уже проведенных или будущих). Именно это будет ключевым критерием истинности. Работа с исходными выражениями (решение уравнений) – чаще всего совсем не техническая процедура. Хотя не исключено, что в ближайшие годы она все более будет становиться таковой благодаря развитию техники численных вычислений, включая простые формы искусственного интеллекта. Уже сейчас сложный, но потенциально берущийся на «листочке» интеграл (не говоря уже о более сложных ситуациях) часто или считается численно, или с ним работают в программе вроде Mathematica или Maple.

Если уравнения решены (т. е. это сделано аналитически или же написаны программы для их решения), то теперь можно заняться собственно вычислениями для интересующего нас набора параметров[81]. Ответ будем сравнивать с тем, что наблюдается в реальном мире.

Здесь нас будет интересовать часть работы от записи исходных уравнений до расчетов, поскольку на этапе использования матаппарата исследователей могут поджидать сюрпризы: порой результат не соответствует ожиданиям, более того, он их превосходит. При работе физика-теоретика часто выходит, что «так получилось». Метод сам вывел на определенный результат, как говорят, «уравнение оказалось умнее своего творца». Это важная часть «непостижимой эффективности математики в физике».

Как так может быть? Ответ отчасти состоит в том, что применяемые математические методы базируются на структуре, которая в своей основе имеет вполне реальные вещи. Ведь математика стартовала с конкретных задач, касающихся практики. Ее неоднократно сравнивают с языком; и в самом деле, вначале это был один из способов описания реальности и одновременно метод манипулирования с ней. Таким образом, основы математики были сформированы в тесном контакте с бытовыми, в общем-то, задачами[82], а потом оказалось, что этот язык можно развивать, опираясь уже не на внешние запросы, а на внутренние связи.

Тем не менее не только в самом начале, но и в процессе своего развития математика постоянно получала запросы от различных областей знания, изучающих природу или социальные и лингвистические структуры. Речь шла не только о вопросах типа «Нет ли у вас подходящего инструмента для такой-то задачи?», но и о разработке новых методов. Иными словами, если придерживаться точки зрения, что математика – это создаваемая человеком абстрактная структура, то важно, что и в ее фундаменте лежат наблюдаемые закономерности, и в ходе строительства некоторые этажи проектировались по заказу.

Результатом стало «строение», поразительным образом соответствующее реальному миру[83]. Это как дом, хорошо вписанный в сложный пейзаж. Его проект начали создавать, исходя из ключевых требований (защищать от дождя и ветра) и базовых особенностей местности (солнце – на юге, холодный ветер с моря – на севере), затем стали учитывать и «внутренние причины», не связанные с «пейзажем» (от типичного набора помещений – столько-то спален, столько-то ванных комнат, столько-то гостевых, кухня, гостиная и т. д. – до чисто «механических» особенностей существующих стройматериалов, их наличия в окрестностях, а также таких «наивных» параметров, как рост людей и т. п.[84]), но по ходу строительства в проект постоянно вносились коррективы уже в связи с вновь выявившимися внешними причинами (появились новые члены семьи, завели козу). В итоге мы поражаемся, насколько уместно постройка смотрится в данном месте и как в ней всем комфортно.

Однако представьте свое удивление, если при строительстве дома, буря скважину, чтобы провести воду, вы обнаруживаете источник с удивительно целебной минеральной водой, при рытье котлована находите древний клад и т. д. С решением уравнений такое происходит. Одним из самых ярких примеров получения неожиданного результата служит предсказание позитрона Полем Дираком в 1928–1931 гг.