Все формулы мира. Как математика объясняет законы природы

В общем случае метрика записывается для искривленного пространства, но мы выпишем формулу для плоской вселенной – не только потому, что она проще, а еще и потому, что в пределах точности измерений кривизна вселенной равна нулю. «Плоскостность» нашего мира, в частности, говорит о том, что в больших масштабах можно пользоваться евклидовой геометрией (при этом, разумеется, пространство трехмерно).

Сделаем еще одно упрощение при записи метрики. В общем случае в него должны входить три пространственные координаты. Удобно взять не декартову тройку x, y, z, а радиальную и две угловые координаты. Но нас будут интересовать лишь радиальные движения (например, галактика или удаляется от нас, или приближается к нам, но не смещается по небесной сфере), так что угловые координаты мы отбросим. В итоге получается очень простое выражение для квадрата интервала:

где c – скорость света, dt – временной интервал, dl – элемент длины. Изменяющаяся со временем величина a(t) называется масштабным фактором, она характеризует изменение интервала длины, который мы обозначим dr.

Итак, расстояние между двумя очень близкими точками записывается как dr = adl. Чтобы получить расстояние r между двумя реальными объектами, нам надо интегрировать:

Введем еще одно обозначение: так называемые сопутствующие координаты. Их особенность в том, что они не меняются по мере расширения. Пусть два объекта имеют сопутствующие координаты χ₁ и χ₂, тогда соответствующее сопутствующее расстояние χ = χ₁ – χ₂ остается постоянным, если мы пренебрегаем так называемым пекулярным движением объектов относительно друг друга, связанным, например, с их взаимным гравитационным притяжением.

Определяя r в какой-то момент времени, мы можем считать масштабный фактор a постоянной величиной (ведь он изменяется только со временем и в каждый момент один и тот же для всей вселенной). Значит,

А интеграл от dl равен, по определению, сопутствующему расстоянию:

Расстояние r называют собственным. Именно оно показывает, сколько сантиметров (метров, километров, парсек или световых лет) между двумя объектами в данный момент времени. Это расстояние растет в расширяющейся вселенной, что описывается изменением масштабного фактора. Обычно удобно считать, что в настоящий момент a = 1. Соответственно, в прошлом a < 1, а в будущем a > 1.

Теперь, введя все необходимые величины, переходим к выводу закона Хаббла. Определим скорость как производную от собственного расстояния:

Дальше произведем короткую цепочку простых преобразований, помня, что мы считаем сопутствующее расстояние неизменяющимся:

Вспомним, что r = aχ, и введем обозначение:

Получаем искомое v = Hr, где H – постоянная Хаббла.

Вот мы и вывели закон Хаббла. Теперь посмотрим на некоторые следствия из него.

Крайне существенно, что в космологии надо использовать общую теорию относительности. Это не та ситуация, где можно обойтись лишь СТО, такая попытка приведет к неправильным результатам и только запутает. Например, скорости в космологии складываются по простому галилеевскому правилу.

Если у нас есть три галактики на одной прямой – 1, 2 и 3, то скорость третьей относительно первой составит:

v₁₃= v₁₂ + v₂₃ = Hr₁₂ + Hr₂₃ = Hr₁₃,

где r₁₃ = r₁₂ + r₂₃.

Это верно для любых скоростей: не только близких к скорости света, но и превосходящих ее.

Кроме участия в космологическом расширении – так называемом хаббловском потоке, галактики могут иметь пекулярные скорости (например, пара галактик может сближаться, как Млечный Путь и Туманность Андромеды). Такие скорости соответствуют изменению сопутствующих координат:

Здесь первое слагаемое – обычное космологическое расширение, а второе связано с пекулярной скоростью. Снова мы имеем дело с простой суммой, какими бы большими ни были скорости.

А они могут быть большими. Если пекулярные скорости не могут превосходить световую, то скорость, связанная с космологическим расширением (именно она входит в закон Хаббла), может быть любой, если расстояние сколь угодно велико. Таким образом, есть расстояние, на котором она сравнивается с c = 300 000 км/с.

Хаббловской сферой называют поверхность, собственное расстояние до которой определяется как r = c / H. Иными словами, в данный момент времени галактики, находящиеся на сфере Хаббла, удаляются от нас из-за расширения Вселенной со скоростью, равной скорости света. Заметим, что мы можем наблюдать галактики, находящиеся сейчас за сферой Хаббла. Следовательно, эта поверхность не является горизонтом.

Постоянная Хаббла меняется со временем (зато она одинакова во всех местах в данный момент времени). В нашей вселенной в течение всей ее истории по окончании стадии инфляции постоянная Хаббла уменьшается. Соответственно, поскольку скорость света постоянна, собственное расстояние до хаббловской сферы в настоящее время растет (т. е. в метрах, сантиметрах и т. д. это расстояние возрастает).