Все формулы мира. Как математика объясняет законы природы

Иначе говоря, P = GM²R^–4. Это то, что мы и хотели! Формула для расчета давления в недрах Солнца!!! Остается подставить солнечную массу (2·10³³ г) и радиус (696 000 км). Получим, что давление в центре Солнца в 10 млрд раз больше атмосферного давления у поверхности Земли!

Чтобы получить температуру, возьмем формулу для идеального газа из школьного учебника:

где V – объем,  – универсальная газовая постоянная, а  – молярный вес (для простоты можно считать, что Солнце состоит из атомарного водорода). Вместо давления подставим P = GM²R^–4 и преобразуем формулы, выразив температуру:

Остается подставить числа. Ответ – температура порядка 20 млн Кельвин. Полученные нами оценки температуры и давления близки к верным значениям.

Аналогично можно получить формулу для периода пульсаций звезды. Правда, здесь ответ будет менее точным из-за наличия безразмерного коэффициента, который нам трудно определить точно таким же методом. Зато зависимость от ключевых величин мы получим правильную.

Снова будем искать формулу для периода в виде G^xM^yR^z. Есть всего лишь один набор показателей степени x, y, z, дающих величину с размерностью времени. Эта комбинация: R^{3 / 2} / (GM)^{1 / 2}. Заметим, что частное от деления массы на куб радиуса имеет размерность плотности. Тогда получим, что период пульсаций звезды (вообще, газового шара), P_puls, пропорционален квадратному корню из произведения гравитационной постоянной на среднюю плотность. А поскольку G – постоянная, то важным фактом является пропорциональность периода пульсаций обратному квадратному корню из плотности:

У звезд типа Солнца чем меньше масса, тем выше средняя плотность. Это говорит о том, что с ростом массы растет и период пульсаций. Кроме того, низкая средняя плотность проэволюционировавших и раздувшихся звезд приводит к большим периодам, что и наблюдается. Если у Солнца основной период пульсаций составляет около часа, то у звезд-гигантов он может составлять десятки дней, что неудивительно, ведь их радиусы в сотни раз больше.

Приложение 3 Аккреция, предельная светимость и массы сверхмассивных черных дыр

Возьмем предмет, поднимем его над полом и отпустим. Он со стуком упадет. Звук – это продольные волны, распространяющиеся в среде и переносящие энергию. Откуда взялась эта энергия в случае падающего тела? Ответ дается в школьном курсе физики. Там рассказывается, что тело на высоте h имеет так называемую потенциальную энергию E_p = mgh, где m – масса тела, а g – ускорение свободного падения. Ускорение можно рассчитать из закона всемирного тяготения:

где G – ньютоновская постоянная, M – масса Земли, а R – ее радиус.

В школьных задачах чаще всего можно считать, что высота, с которой падает тело, намного меньше радиуса Земли (R >> h), поэтому g не изменяется.

При падении тело разгоняется, так как на него действует сила в направлении движения. Растет кинетическая энергия, равная:

Этот рост происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. К моменту удара, как учит нас школьный учебник, вся потенциальная энергия успела перейти в кинетическую. Затем практически мгновенно вся кинетическая энергия перейдет в другие формы, например в тепловую энергию и в энергию звуковой волны. В бытовых ситуациях тепловой эффект мы обычно не замечаем, но вот если на Землю падает крупный метеорит, то нагрев более чем заметен, свидетельством чего являются так называемые тектиты – оплавленные куски стекла, возникающие из-за нагрева пород при ударе.

Школьное описание является несколько упрощенной версией. Нас будет интересовать падение вещества на нейтронные звезды и черные дыры, при этом расстояние, с которого оно прилетает, намного больше размеров компактных объектов. Для такого случая запишем потенциальную энергию более корректно:

где M – масса массивного тела, а m – масса падающего объекта (в такой постановке M >> m).

Буквой r мы обозначили расстояние, с которого прилетает вещество, отсчитывая его от гравитирующего центра (т. е. от центра массивного тела).

Вы уже обратили внимание, что потенциальная энергия отрицательна. Она отражает, насколько сильна связь между телами, т. е. сколько нужно энергии, чтобы эту связь разорвать. Скажем, если объект покоится на поверхности массивного тела, то, сообщив ему кинетическую энергию, меньшую, чем модуль потенциальной энергии, но бóльшую, чем его половина, мы сможем вывести его на орбиту. А в результате передачи кинетической энергии, большей модуля потенциальной, объект перестанет быть гравитационно связанным с массивным телом, поскольку сумма потенциальной и кинетической энергии станет положительной.