Все формулы мира. Как математика объясняет законы природы

Вопрос в том, с какой скоростью увеличивается расстояние до сферы Хаббла. В ускоренно расширяющейся вселенной это расстояние растет со скоростью меньше световой, а в замедленно расширяющейся – быстрее. Точная формула для этой скорости c (1 + q), где q – так называемый параметр замедления; этот параметр меньше нуля во вселенной, расширяющейся с ускорением (у нас сейчас он равен примерно 0,55), и больше нуля – в противоположном случае. Знак параметра замедления обратен знаку второй производной масштабного фактора. Масштабный фактор в расширяющейся вселенной всегда растет, соответственно, его первая производная положительна. А вот вторая как раз отражает, происходит ли рост расстояний все быстрее и быстрее (ускоренно расширяющаяся вселенная) или нет.

В ускоренно расширяющейся вселенной галактики «вылетают» за сферу Хаббла, поскольку «чуть за» сферой Хаббла их скорость больше световой (вспомним, что не надо бояться сверхсветовых скоростей в космологии), и сфера от них отстает, потому что движется с меньшей скоростью. Это можно описать как «продвижение» сферы Хаббла в нашу сторону, если говорить о сопутствующем расстоянии. Таким образом, сопутствующее расстояние до сферы Хаббла уменьшается. Во Вселенной, расширяющейся с замедлением, ситуация обратная.

Замечу, что в космологии можно говорить о разных определениях расстояний, скоростей и времени. Если это не уточняется, то может возникать путаница. Подробнее почитать обо всем этом можно в серии статей на сайте «Астронет»[95].

Приложение 2 Метод размерностей. Параметры в центре Солнца и пульсации звезд

Яркой иллюстрацией того, как с помощью качественных рассуждений можно получать правильные физические формулы, является метод размерностей[96]. Мы рассмотрим здесь два простых примера: параметры в центре Солнца и период пульсаций звезд.

Идея метода крайне проста. Мы хотим получить формулу для расчета какой-то величины A, имеющей определенную размерность. Подумаем, от каких параметров она может зависеть. Пусть это другие величины B, C, D. Обычно зависимости носят степенной характер (т. е. величины входят в конечную формулу в какой-то степени). Возьмем выбранные нами величины, а показатели их степени будут нашими неизвестными: x, y, z. Наше гипотетическое уравнение имеет вид: A = B^xC^yD^z. Теперь существенно, что все это – размерные величины[97]. Размерность обозначают символом величины в квадратных скобках: [A]. Значит, для размерностей должно выполняться то же самое уравнение:

Ведь если слева секунды, то и справа должны получаться секунды, а не сантиметры или граммы. Уравнение для размерностей дает нам систему простых линейных уравнений, решение которой может дать показатели степени x, y, z. Иначе говоря, мы найдем нашу искомую формулу. Конечно, в ней также могут быть безразмерные коэффициенты. С ними разбираться уже сложнее, но иногда и это оказывается возможным. Посмотрим на примеры.

Начнем с оценки давления в центре Солнца (а затем получим температуру, правда, уже не методом размерностей, а используя физику 10-го класса средней школы). Солнце находится в состоянии гидростатического равновесия. Градиент давления (оно растет внутрь) уравновешивает силу тяжести. Значит, давление должно выражаться через параметры, связанные с солнечной гравитацией. Таким образом, в нашу формулу войдет масса Солнца M и гравитационная постоянная G. Сила гравитации зависит от расстояния. Характерный масштаб в задаче – размер Солнца, R. Добавим и его. Тогда для давления получим:

Теперь займемся размерностями. С массой и радиусом все просто: [M] = г, [R] = см. Давление – это в первую очередь плотность энергии, т. е. для него можно записать:

Размерность энергии, выраженную через базовые величины, можно вспомнить благодаря формуле E = mv² / 2: [E] = г см² с^–2. Значит, для давления получим: [P] = г см^–1 с^–2. Остается гравитационная постоянная. Ее размерность, конечно, можно взять из справочника, а можно вспомнить закон всемирного тяготения:

Для размерностей должно выполняться такое же соотношение:

Иначе говоря, [G] = [F][R]² / [M]². Размерность силы (напомним, что сила равна произведению массы на ускорение) равняется г см с^–2. Значит, [G] = г см с^–2 см² г^–2 = г^–1 см³ с^–2. Теперь можно вернуться к нашему уравнению для давления, записав его для размерностей:

г см^–1 с^–2 = (г^–1 см³ с^–2)^x (г)^y (см)^z.

Преобразуем правую часть и упорядочим ее, получим:

г см^–1 с^–2 = г^y–x см^3x+z с^–2x.

По отдельности должны выполняться равенства для каждой базовой размерности слева и справа, т. е. имеем систему уравнений: 1 = y – x; –1 = 3x + z; –2 = –2x.

Решая ее, получим: x = 1; y = 2; z = –4.