Все формулы мира. Как математика объясняет законы природы

Важно, что коллапсирует область размером порядка текущего горизонта[109]. Соответственно, в разное время формируются черные дыры разной массы: чем позже – тем больше[110]. Процесс идет от самых ранних моментов (когда теоретически в некоторых моделях масса может доходить до планковской – 10^–5 г) до примерно одной секунды (тогда могут образовываться дыры с массой около 100 000 масс Солнца). Для массы черной дыры в зависимости от времени формирования существует простая формула, определяемая массой вещества внутри горизонта:

где c – скорость света, G – ньютоновская постоянная, а t – время.

Результат приведен в граммах, и время нормировано на момент формирования тех дыр, чья жизнь сейчас, согласно хокинговской модели, подходит к концу.

В своей знаменитой работе 1975 г. Стивен Хокинг предложил механизм, с помощью которого черная дыра может «испаряться»[111]. Детали механизма довольно нетривиальны с бытовой точки зрения, а упрощенные иллюстрации лишь вводят в заблуждение. Но, как бы то ни было, вблизи горизонта (что не означает микроскопических расстояний от него!) за счет квантовых эффектов формируются частицы (и кванты электромагнитного излучения, и частицы, имеющие массу покоя), уносящие энергию дыры, т. е. уменьшающие ее массу. Чем меньше черная дыра, тем активнее она излучает. Для внешнего наблюдателя черная дыра выглядит как источник теплового излучения.

Температура излучения черной дыры определяется следующей формулой:

где h – постоянная Планка, а k – постоянная Больцмана.

Видно, что с уменьшением массы температура растет. Давайте попробуем получить эту формулу с точностью до численного коэффициента.

Начнем мы, как ни странно, с принципа неопределенности Гейзенберга и корпускулярно-волнового дуализма. Легенда гласит, что в разговоре с Яковом Борисовичем Зельдовичем Владимир Наумович Грибов высказал следующую мысль. Возникает парадокс, если мы применим принцип Гейзенберга к черным дырам. С одной стороны, мы говорим, что из них ничего не вылетает, а с другой – как же мы локализуем в маленькой черной дыре частицу, длина волны которой превосходит размер черной дыры? Иными словами, в некотором смысле квантовая механика вступает в противоречие с ОТО. Грибов полагал, что «квантовая механика победит».

Предельный масштаб, на котором мы можем локализовать частицу, связан с ее комптоновской длиной волны:

где m – масса частицы.

Что же это за длина волны? Это можно пояснить таким образом (хотя в таком упрощенном комментарии есть элемент передергивания). Каждой длине волны соответствует частота, которую можно рассчитать, используя скорость распространения волны. В данном случае – скорость света: ν = c /λ. С одной стороны, если мы рассматриваем волну, то энергия частицы будет равна E = hν. С другой – энергия частицы при такой предельной локализации будет порядка ее энергии покоя: E = mc². Таким образом, hν = hc /λ = mc². А отсюда мы сразу получаем, что

Принцип неопределенности Гейзенберга записывается таким образом:

где Δx – неопределенность координаты, а Δp – неопределенность импульса частицы.

В нашем рассуждении существенно, что мы пытаемся локализовать частицу по координате с точностью порядка ее комптоновской длины волны. Это приведет к тому, что неопределенность импульса будет порядка Δp = mc (именно поэтому выше мы могли использовать скорость света при сопоставлении частоты и длины волны). Тогда для Δx получим:

Таким образом, эта величина равна комптоновской длине волны, деленной на 2π. Эту величину называют приведенной комптоновской длиной волны и записывают так: (а величину называют приведенной или редуцированной постоянной Планка).

Теперь получим оценку температуры черной дыры. С одной стороны, пределом для «вылезания» частицы из дыры будет равенство диаметра черной дыры и приведенной комптоновской длины волны (напомним, что мы всего лишь даем некую иллюстрацию, на самом деле никакие частицы из черной дыры не «вылупляются», они не пересекают горизонт «оттуда сюда», а возникают «с нашей стороны» из-за изменений параметров вакуума, связанных с нестационарностью горизонта). С другой стороны, при излучении у нас есть равенство для тепловой энергии частицы и энергии кванта:

где длина волны – это комптоновская длина.

Приведенную длину мы оценили как удвоенный радиус черной дыры, для которого используем стандартную формулу Шварцшильда:

Таким образом получаем:

Теперь соберем все вместе и получим выражение для температуры:

Формула лишь коэффициентом π отличается от точного значения. Разумеется, это совсем не строгий вывод, и, только зная аккуратно полученный правильный результат, можно потирать руки, радуясь тому, что мы таким простым способом получили столь фундаментальную формулу. Тем не менее приятно, что можно построить такую наглядную цепочку рассуждений.