Все формулы мира. Как математика объясняет законы природы

Давайте разберемся с энергией вращения и энергией магнитного поля. Представьте себе вращающийся шар. Каждый его маленький кусочек движется по окружности, перпендикулярной оси вращения. Пусть период вращения равен P, а радиус шара – R. Рассмотрим кусочек вещества массой Δm. Он вращается на расстоянии r < R от оси. Его скорость 2πr / P. Значит, он обладает кинетической энергией Δm (2πr / P)² / 2. Чтобы получить полную энергию, связанную с вращением, нам надо просуммировать энергии всех кусочков вещества. Строго это получается интегрированием по объему шара. Ясно, что полная масса равна M, при этом все кусочки вращаются внутри шара, т. е. их скорости меньше 2πR / P. Значит, полная кинетическая энергия будет меньше, чем 4π²MR² / 2P². Насколько меньше, зависит от того, как меняется плотность вещества внутри шара. Для нейтронных звезд она изменяется слабо, поэтому энергия будет ненамного меньше максимальной.

Чтобы упростить запись формул, удобно ввести две величины: угловую частоту вращения и момент инерции. Угловая частота – это просто 2π / P. Обозначим ее буквой ω. Момент инерции (его обозначим буквой I) показывает, насколько инертно тело в смысле вращения, т. е. насколько трудно его раскрутить, а потом – затормозить (смысл примерно как у массы, характеризующей инертность в смысле поступательного движения). Момент инерции шара пропорционален произведению массы на квадрат радиуса (дополнительный безразмерный множитель зависит от распределения вещества в шаре). Энергия вращения запишется теперь в простом виде, напоминающем формулу для кинетической энергии: E = Iω² / 2. В случае нейтронной звезды I ≈ MR² что составляет примерно 10⁴⁵ г·см². Период вращения может составлять 0,001 секунды. Таким образом, получаем, что энергия вращения нейтронной звезды может достигать колоссальной величины >10⁵² эрг. Насколько это много? Это больше, чем Солнце излучает за всю свою жизнь! Так что, даже если малую часть этой энергии конвертировать в энергию магнитного поля, можно получить очень большую величину.

Как посчитать энергию магнитного поля? Не будем начинать с самых основ, а сразу скажем, что плотность магнитной энергии (т. е. магнитное давление) вычисляется по формуле: B²/8π. Значит, чтобы узнать примерную магнитную энергию, содержащуюся в нейтронной звезде, надо эту величину умножить на объем звезды (для простоты предполагаем, что поле заполняет весь компактный объект). Если поле на поверхности равно 10¹² Гс, то полная энергия будет равна 2·10⁴¹ эрг. Совсем немного. Но если поле магнитарное, то энергия возрастает до 10⁴⁷ эрг, столько Солнце излучает за 1 млн лет. Однако видно, что энергия вращения может быть больше, так что ее хватит для усиления поля.

С чем еще можно сравнить энергию магнитного поля? Например, с потенциальной (гравитационной) энергией нейтронной звезды. Она вычисляется как GM²/R. В типичном случае это составит 4·10⁵³ эрг. Эта величина позволяет понять, каким может быть предельное магнитное поле. Из

получим, что поле никак не может быть больше 10¹⁸ Гс, иначе звезду «разорвет».

У нас нет примеров нейтронных звезд со столь сильными полями; скорее всего, в природе они не встречаются. Но уже типичные магнитарные поля могут искажать сферическую форму нейтронной звезды, ведь магнитное поле распределено в ней неравномерно. Нейтронные звезды могут быть немного вытянутыми вдоль магнитной оси, а могут быть сплюснутыми, что должно сказываться на том, как компактный объект вращается, поэтому есть надежда увидеть это в данных наблюдений. Кроме того, вращение такого несимметричного объекта (если магнитная ось не совпадает с осью вращения) должно приводить к испусканию гравитационных волн. Не исключено, что детекторы следующего поколения (например, так называемый Телескоп Эйнштейна) смогут зарегистрировать такие сигналы.

Итак, энергии вращения много. Часть можно успеть превратить в энергию магнитного поля, пока компактный объект молод и быстро вращается. А что дальше? Дальше магнитное поле может способствовать постепенному превращению энергии вращения в энергию излучения и улетающих с околосветовыми скоростями частиц. Так работают радиопульсары.