Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей

Рис. 6.4. Сферический треугольник образован «самыми прямыми из возможных» линиями на сфере (глобусе), но сумма углов этого треугольника сильно отличается от 180°: она составляет 270°

Мы-то знаем источник проблемы: карты на самом деле покрывают часть глобуса, и про меридианы, на которых расположены Москва (37°36′56'' в.д.) и Владивосток (135°42′34'' в.д.), никак нельзя сказать, что они параллельны, несмотря на то что оба указывают на север, – они пересекаются у Северного полюса под углом 98°. В треугольнике, образованном этими двумя меридианами и отрезком экватора между ними, сумма углов равна 278°, что больше трех прямых углов. (Вот она, искривленная геометрия!) Похожий треугольник – с тремя прямыми углами – изображен на рис. 6.4. Неудивительно, что у картографов возникают сложности, когда они раскладывают карты по плоской поверхности стола, где сумма углов треугольника всегда 180°.

Рис. 6.5. В проекции Меркатора размеры искажаются все сильнее по мере удаления от экватора (истинные размеры некоторых стран и областей показаны темным). Для того чтобы по расстояниям на карте определить расстояние по земной поверхности, требуются поправочные множители, причем разные в различных точках

Локальные представления, устроенные настолько просто, что не вызывают затруднений даже у горе-картографов, могут оказаться частью чего-то глобально более сложного, часто – искривленного. Сфера имеет кривизну, и ее нельзя накрыть одной картой, даже если разрешить себе любые гладкие (без разрезов) искажения форм и размеров. В проекции Меркатора (рис. 6.5) радикально увеличены в размерах полярные области (маленькая Антарктида оказывается суперматериком, а Гренландия приобретает размер Африки, хотя в действительности она в 14 раз меньше по площади). Но настоящая проблема, собственно, с полюсами: если строго следовать геометрическим предписаниям по построению проекции, то они должны оказываться «бесконечно» далеко сверху и снизу; в реальности их помещают на некотором произвольном расстоянии от экватора, но каждый полюс при этом приходится изображать линией. Раздувать точку в линию – намного более «плохая практика», чем искажения формы и размера. Из-за кривизны сферы на ней нельзя нарисовать координатную сетку, которая работала бы во всех точках: как минимум в одной точке она непременно откажет. Стандартные координаты на земном шаре/глобусе – широта и долгота – введены для того, чтобы каждой точке на поверхности отвечали два числа; получилось же – каждой, кроме полюсов. В полюсах сходятся все меридианы и поэтому нет значения долготы (а все направления указывают на юг с Северного полюса и на север с Южного).

Не только сферу не накрыть одной картой с хорошей и всюду пригодной координатной сеткой. Похожее может случиться в пространстве-времени, стоит только расширить жизненный опыт за пределы того, что доступен «равномерным и прямолинейным» наблюдателям. Например, как мы видели в добавлениях к предыдущей прогулке, космонавты в ускоряющейся ракете теряют возможность разобраться, что творится за определенным пределом. Координаты – «разметка» пространства-времени, – которые они вводят для описания мира со своей точки зрения, не работают глобально.

Рис. 6.6. Отождествления одних и тех же пунктов на двух картах. Если склеить карты так, чтобы соответствующие точки наложились друг на друга, координатные линии окажутся изогнутыми

Кривизна возникает, когда мы выбираемся за пределы локального. Сложное – искривленное – возникает в результате попарных склеек друг с другом простых локальных карт. Встреченные нами картографы устанавливают соответствия между одними и теми же пунктами в областях пересечения соседних карт, как схематично показано на рис. 6.6. Склейка карт по приграничным областям таким образом, чтобы все соответствующие пункты наложились друг на друга, требует деформации плоских листов, на которых эти карты нарисованы[104]. Из таких деформированных листов может «собраться» искривленная поверхность – например, сфера (а могут и другие!).