Выход из штопора

Не могу отказать себе в удовольствии привести следующий пример: «В этом учебном году на семестровой контрольной одной из задач была такая (я думаю, наши восьми-, а может, и семиклассники ее бы оценили): “Воздушный шар летит в одном направлении со скоростью 20 км/час в течение 1 часа и 45 минут. Затем направление движения меняется на заданный угол (60°), и воздушный шар летит еще 1 час и 45 минут с той же скоростью. Найти расстояние от точки старта до точки приземления”. Перед контрольной на протяжении двух недель среди преподавателей университета шла бурная дискуссия – не слишком ли сложна эта задача для наших студентов. В конце концов решили рискнуть выставить ее на контрольную, но с условием, что те, кто ее решит, получат дополнительно несколько премиальных очков. Затем в помощь преподавателям, которые будут проверять студенческие работы, автор этой задачи дал ее решение. Решение занимало половину страницы и было неправильным. Когда я это заметил и поднял было визг, коллеги тут же успокоили меня очень простым аргументом: “Чего ты нервничаешь? Все равно эту задачу никто не решит…” И они оказались правы. Из полутора сотен студентов, писавших контрольную, ее решили только два человека (и это были китайцы). Из моих пятидесяти учеников примерно половина даже не попыталась ее решать, а у тех, кто сделал такую попытку, спектр полученных ответов простирался от 104 метров до 108 500 километров. Отдавая работу той студентке, которая умудрилась получить расстояние в 108,5 тысячи километров, я попытался было воззвать к ее здравому смыслу: дескать, ведь это два с половиной раза облететь вокруг земного шара! Но она мне с достоинством ответила: “Да, я уже знаю – это неправильное решение”. Такие вот дела…» (В. Доценко «Пятое правило арифметики». Семестровая контрольная была в Сорбонне на первом курсе.) Замечу, что бесполезно взывать к здравому смыслу человека, заменившего свой мозг калькулятором.

Было бы очень приятно, если бы наши выпускники были способны решить эту задачу в уме, затратив на это две-три минуты, рассуждая примерно так:

“Воздушный шар летит в одном направлении со скоростью 20 км/час в течение 1 часа и 45 минут. Затем направление движения меняется на заданный угол (60°), и воздушный шар летит еще 1 час и 45 минут с той же скоростью. Найти расстояние от точки старта до точки приземления”

За час шар пролетает 20 км, за 45 минут – три четверти от 20 км, то есть 15 км. Две стороны треугольника, по которым летел шар, тем самым по 35 км (эту часть задачи должны решать второклассники). Третья сторона не равна 35 км, как возможно подумали многие в первое мгновение (угол-то отсчитывается от направления движения). Итак, нас интересует длина основания равнобедренного треугольника с углами 120° (180°-60°) и при основании по 30° и боковыми сторонами 35 км. Опустим на основание высоту. Мы получим два равных прямоугольных треугольника с острым углом 30° и гипотенузами по 35 км. Как известно любому восьмикласснику, в таких треугольниках гипотенуза вдвое больше короткого катета, а нам нужно узнать длинный. По теореме Пифагора получим, что длинный катет равен (?3/2)*35 (для этого нет необходимости возводить в квадрат 35 и 17,5, а потом извлекать корень из разности этих квадратов, достаточно вспомнить о свойствах подобных треугольников и сосчитать катет треугольника с гипотенузой 1 и вторым катетом 0,5 – задач про такие треугольники решается столь много, что большая часть учеников просто помнит длину этого катета). Нас интересует вдвое большее расстояние, то есть 35?3.

Сосчитаем корень из трех. Сделаем так: найдем корень из 300 и поделим его на 10. 16^(2)=256 – мало. 17^(2)=289 – мало, 18^(2)=324 – много . 289 гораздо ближе к 300, чем 324, следовательно ?3 ближе к 1,7 чем к 1,8.

35?3 ? 35*1,7 = 35+35*0,7;

35*0,7 = 35-(35*0,3);

35*0,3 = 3*3,5 = 10,5;

значит 35*0,7 = 24,5.

Следовательно, расстояние от точки старта до точки приземления 35+25-0,5 = 59,5 км (эту часть задачи должен уметь решать любой восьмиклассник, хороший должен догадаться найти еще и верхнюю границу отрезка, в котором находится ответ).

Уточнение результата: найдем следующую цифру ?3. Возводить в квадрат трехзначные числа между 170 и 180, чтобы подобрать квадрат, ближайший к 30000, слишком хлопотно, проще вспомнить, что все функции (кроме особо экзотических, придуманных специально для опровержения этого тезиса) в малом линейны. Представим себе, что часть параболы y=x^(2) между 17 и 18 по x не кривая, а отрезок. X вырос на 1 (от 17 до 18), а y на 35 (324-289=35). Значит, на каждую десятую по x, функция растет на 3,5. За 0,3 она вырастет на 10,5 – почти 11, отделяющее 289 от 300. Тем самым ?300 ? 17,3. Следовательно ?3 немного больше, чем 1,73.

35*1,73=35*1,7+35*0,03

35*0,03=1,05 (так получилось, что мы уже дважды считали практически это же самое произведение). Значит, уточненный ответ будет чуть больше 60,55 км (59,5+1,05). Я бы оценила его как 60,60±0,05 км.

Проверим на калькуляторе: 60,62 км.