Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Произведя вычитание 52 267–444, получаем число 51823.

Теперь разобьем это число на грани, справа налево, по две цифры в каждой. Имеем:

5 - 18 – 23,

то-есть 5-го месяца (мая), числа 18; возраст 23 года.

Почему же так получилось?

Секрет наш легко понять из рассмотрения следующего равенства:

{[(100m+ t) х 2 + 8] х 5 + 4} х 10 + 4 + n — 444 = 10 000m+ 100t + n.

Здесь буква m обозначает порядковый номер месяца, t — число месяца, n — возраст. Левая часть равенства выражает все последовательно произведенные вами действия, а правая — то, что должно получиться, если раскрыть скобки и проделать возможные упрощения.

В выражении 10 000m + 100t + n ни m, ни t, ни n не могут быть более чем двузначными числами; поэтому число, получающееся в результате, всегда должно при делении на грани, по две цифры в каждой, расчлениться на три части, выраженные искомыми числами m, t и n.

Предоставляем изобретательности читателя придумать видоизменения фокуса, то-есть другие комбинации действий, дающие подобный же результат.

ОДНО ИЗ "УТЕШНЫХ ДЕЙСТВИЙ" МАГНИЦКОГО

Предлагаю читателю раскрыть также секрет следующего незамысловатого фокуса, который описан еще в "Арифметике" Магницкого в главе: "Об утешных некиих действиях, через арифметику употребляемых".

Пусть кто-либо задумает какое-нибудь число, относящееся к деньгам, к дням, к часам или к "каковой-либо иной числимой вещи". Остановимся на примере перстня, надетого на 2-й сустав мизинца (то-есть 5-го пальца) 4-го из 8 человек. Когда в это общество является отгадчик, его спрашивают: у кого из 8 человек (обозначенных номерами от 1 до 8), на каком пальце и на котором суставе находится перстень?

"Он же рече: кто-либо от вас умножи оного, который взял через 2, и к тому приложи 5, потом паки (снова) умножи через 5, также приложи перст на нем же есть перстень (то-есть к полученному прибавь номер пальца с перстнем). А потом умножи чрез 10 и приложи сустав на нем же перстень взложен, и от сих произведенное число скажи им, по нему же искомое получиши.

Они же твориша (поступили) якоже повеле им, умножаху четвертого человека, который взял перстень, и прочая вся, яже велеша им; якоже явлено есть (см. выкладки); из всего собрания пришло ему число 702, из него же он вычитал 250, осталось 452, то-есть 4-й человек, 5-й палец, 2-й сустав".

Не надо удивляться, что этот арифметический фокус был известен еще 200 лет назад: задачи совершенно подобного же рода я нашел в одном из первых сборников математических развлечений, именно у Баше-де-Мезирьяка, в его книге "Занимательные и приятные числовые задачи", вышедшей в 1612 году; а туда она попала из сочинения Леонарда Пизано (1202 год). Нужно вообще заметить, что большая часть математических игр, головоломок и развлечений, которые в ходу в настоящее время, очень древнего происхождения.

Математический фокус из "Арифметики" Л. Магницкого, 1703 год.

ОТГАДЫВАНИЕ ЧИСЕЛ

В заключение, ничего у вас не спрашивая, я отгадаю результат, который вы получите в итоге выкладок над задуманным вами числом.

Задумайте любую цифру, кроме ноля. Умножьте ее на 37. Полученное умножьте на 3. Последнюю цифру произведения зачеркните, а оставшееся число разделите на первоначально задуманную цифру; остатка не будет.

Я могу сказать вам, какое число вы получили, хотя все это я написал задолго до того, как вы приступили к чтению книги.

У вас получилось число 11.

Второй раз проделаем фокус на иной лад. Задумайте двузначное число. Припишите к нему справа то же число еще раз. Полученное четырехзначное число разделите на то, которое вы первоначально задумали: деление выполнится нацело. Все цифры частного сложите.

У вас получилось 2.

Если не так, то проверьте внимательно свои вычисления и убедитесь, что ошиблись вы, а не я.

В чем разгадка этих фокусов?

Разгадка.

Наш читатель теперь достаточно уже опытен в разгадывании фокусов и не потребует от меня долгих объяснений. В первом опыте отгадывания задуманное число умножалось сначала на 37, потом на 3. Но 37 х 3 = 111, а умножить цифру 111 — значит составить число из трех таких же одинаковых цифр (например, 4 х 37 х 3 = 444). Что мы проделали далее? Мы зачеркнули последнюю цифру и, следовательно, получили число из двух одинаковых цифр (44), которое, конечно, должно делиться на задуманную цифру и дать в частном 11.

Во втором опыте задуманное двузначное число мы писали дважды кряду — например, задумав 29, писали 2929. Это все равно, что умножить задуманное число на 101 (в самом деле, 29 х 101 =2929). Раз я это знаю, я могу с уверенностью предвидеть, что от деления такого четырехзначного числа на задуманное число получится 101 и что, следовательно, сумма цифр частного (1 + 0 + 1) равна 2.

Как видите, отгадывание основано на свойствах чисел 111 и 101; мы вправе поместить оба эти числа в нашу арифметическую кунсткамеру.

Глава 7 БЫСТРЫЙ СЧЕТ

ПРИЕМЫ УСКОРЕННОГО УМНОЖЕНИЯ