Читаем Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел] полностью

Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Одним из приемов ускоренного умножения является прием перекрестного умножения, весьма удобный при действии с двузначными числами. Способ не нов: он восходит к грекам и индусам и в старину назывался "способом молнии" или "умножением крестиком

Пусть требуется перемножить 24 х 32. Мысленно располагаем числа по следующей схеме, одно под другим:

2 4

|х|

3 2

Теперь последовательно производим следующие действия:

1) 4 х 2 = 8 — это последняя цифра результата;

2) 2 х 2 = 4; 4 х 3 = 12; 4 + 12 = 16; 6 — предпоследняя цифра результата; единицу запоминаем;

3) 2 х 3 = 6 да еще удержанная в уме единица, имеем 7 — это первая цифра результата.

Получаем все цифры произведения: 7, 6, 8 — 768.

После непродолжительного упражнения прием этот усваивается очень легко.

Другой способ, состоящий в употреблении так называемых "дополнений", удобно применяется в тех случаях, когда перемножаемые числа близки к 100.

Предположим, что требуется перемножить 92 х 96. "Дополнение" для 92 до 100 будет 8, для 96 — 4. Действие производят по следующей схеме:

множители: 92 и 96,

дополнения: 8 и 4.

Первые две цифры результата получаются простым вычитанием из множителя "дополнения" множимого или наоборот: то-есть из 92 вычитают 4 или из 96 — 8. В том и другом случае имеем 88; к этому числу приписывают произведение "дополнений": 8 х 4 = 32. Получаем результат 8832.

Что полученный результат должен быть верен, наглядно видно из следующих преобразований:

Еще пример — требуется перемножить 78 на 77:

множители: 78 и 77,

дополнения: 22 и 23.

78 — 23 = 55,

22 х 23 = 506,

5500 + 506 = 6006.

ДЛЯ ОБИХОДНЫХ РАСЧЕТОВ

Существует огромное множество приемов ускоренного выполнения арифметических действий — приемов, предназначаемых для обиходных вычислений. Составилась бы целая книга, если задаться целью описать хотя бы только главнейшие из них. Ограничусь поэтому лишь несколькими примерами из числа наиболее удобоприменимых.

В практике технических и торговых вычислений нередки случаи, когда приходится складывать столбцы чисел, близких друг к другу по величине. Например:

Точно так же находим сумму:

Сходным образом поступают, когда находят арифметическое среднее чисел, близких между собой по величине. Найдем, например, среднюю из следующих цен:

Отсюда искомая средняя цена

4 р. 70 к. + 1,5 к. = 4 р. 71, 5 к.

Перейдем к умножению. Здесь прежде всего укажем, что умножение на числа 5, 25 и 125 значительно ускоряется, если иметь в виду следующее:

5 = 10/2; 25 = 100/4; 125 = 1000/8

Поэтому, например,

36 х 5 = 360/2 = 180; 87 х 5 = 870/5 = 435;

36 х 25 = 3600/4 = 900; 87 х 25 = 8700/4 = 2175;

36 х 125 = 36000/8 = 4500; 87 х 125 = 87000/8 = 10 875.

При умножении на 15 можно пользоваться тем, что

15 = 10 x 1¹/₂

Поэтому легко производить в уме вычисления вроде таких:

36 х 15 = 360 х 1¹/₂ = 360 + 180 = 540,

или проще:

36 х 1¹/₂ х 10 = 540;

87 х 15 = 870 + 435 = 1305.

При умножении на 11 нет надобности писать пять строк:

Достаточно лишь под умноженным числом подписать его еще раз, отодвинув на одну цифру:

и произвести сложение.

Полезно запомнить результаты умножения первых девяти чисел на 12, 13, 14 и 15. Тогда умножение многозначных чисел на такие множители значительно ускоряется. Пусть требуется умножить

Поступаем так. Каждую цифру множимого умножаем в уме сразу на 13:

7 х 13 = 91; 1 пишем, 9 запоминаем;

8 х 13 = 104; 104 + 9 = 113; 3 пишем, 11 запоминаем;

5 х 13 = 65; 65 + 11 = 76; 6 пишем, 7 запоминаем;

4 х 13 = 52; 52 + 7 = 59.

______________

Итого — 59 631.

После нескольких упражнений прием этот легко усваивается.

Весьма удобный прием существует для умножения двузначных чисел на 11: надо раздвинуть цифры множимого и вписать между ними их сумму:

43 х 11 = 473.

Если же сумма цифр двузначная, то число ее десятков прибавляют к первой цифре множимого:

48 х 11 = 4(12)8, то-есть 528.