Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

(36 х 1,4)/3,4,

поступают так:

36 х 1,4 = 50,4 (удерживают не две, а три цифры);

50,4:3,4 = 15.

При несложных технических расчетах указанные выше правила могут быть почти во всех случаях применяемы следующим упрощенным образом. Прежде чем вычислять, устанавливают по числу цифр самого короткого данного, сколько достоверных цифр может заключать окончательный результат. Когда это установлено, приступают к выкладкам; причем во всех промежуточных выкладках удерживают одной цифрой больше, чем установлено для окончательного результата.

Если, например, в условии задачи дано несколько трехзначных чисел и одно двузначное, то окончательный результат будет иметь две достоверные цифры, а промежуточные результаты надо брать с тремя цифрами.

Итак, все правила приближенных вычислений могут быть при выполнении расчетов сведены к двум следующим:

1) устанавливают, сколько значащих цифр в самом коротком из данных задачи: столько же значащих цифр нужно будет удержать в окончательном результате;

2) в результате всех промежуточных вычислений удерживают одной цифрой больше, чем установлено для окончательного результата[43].

Прочие цифры во всех случаях заменяют нолями или отбрасывают по правилам округления.

Правила эти неприменимы к тем задачам (встречающимся редко), для решения которых нужно производить только действия сложения и вычитания. В таких случаях придерживаются другого правила.

Окончательный результат не должен иметь значащих цифр в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из приближенных данных. В промежуточных результатах надо удерживать одной значащей цифрой больше, чем установлено для окончательного. От прочих цифр освобождаются округлением.

Если, например, данные задачи таковы:

37,5 м, 185,64 м, 0,6725 м

и для решения требуется вычесть первое число из суммы других, то в сумме

как в промежуточном результате, откидывают последнюю цифру (то-есть берут 186,312), а в разности

как в результате окончательном, удерживаем лишь 148,8.

СБЕРЕЖЕНИЕ СЧЕТНОГО ТРУДА

Как оценить, сколько вычислительной работы сберегаем мы, пользуясь изложенными сейчас приемами? Для этого надо какой-нибудь сложный расчет выполнить двояко: один раз — по обычным арифметическим правилам, другой — приближенно. А затем терпеливо подсчитать, сколько раз при том и другом подсчете приходилось нам складывать, вычитать и умножать отдельные цифры. Окажется, что приближенный расчет потребует таких элементарных операций в 2¹/₂ раза меньше, чем "точный". Ущерба же для правильности результата в приближенном расчете нет никакого.

Итак, приближенные вычисления требуют примерно в 2¹/₂ раза меньше времени, нежели вычисление по обычным правилам. Но это еще не все сбережение времени, какое при этом достигается. Ведь каждая лишняя счетная операция, каждый лишний случай сложения, вычитания или умножения цифр является лишним поводом сделать ошибку. Вероятность ошибиться при приближенных выкладках в 2¹/₂ раза меньше, чем при "точных". А стоит хоть раз ошибиться — и вычисление придется переделать заново, если не все целиком, то часть его. Значит, сбережение труда и времени при приближенных расчетах получается во всяком случае больше, чем в 2¹/₂ раза. Время, затраченное на ознакомление с ними, вознаграждается очень быстро и щедро.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ КУРЬЕЗЫ

Умножение = вычитанию.

1 х ¹/₂ = 1 — ¹/₂

6 х ⁶/₇ = 6 — ⁶/₇

¹/₂ х ¹/₃ = ¹/₂ — ¹/₃

¹/₃ х ¹/₄ = ¹/₃ — ¹/₄

Глава 9 ЧИСЛОВЫЕ ВЕЛИКАНЫ

КАК ВЕЛИК МИЛЛИОН?

Для тех, кто не отдает себе достаточно ясного отчета в огромности миллиона и миллиарда, остаются не вполне осознанными колоссальные достижения нашего социалистического строительства, выражающиеся миллионными и миллиардными числами.

Чтобы ощутить грандиозность подобных чисел, стоит затратить немного времени на "арифметическую гимнастику", развивающую способность правильно оценивать подлинные размеры больших чисел.

Начнем с миллиона — старейшего числового великана (наименование миллион впервые появилось в 1500 году в Италии).

Если хотите ощутить истинные размеры миллиона, попробуйте хотя бы проставить в чистой тетради миллион точек. Я не предлагаю вам доводить такую работу до конца (едва ли у кого на это хватит терпения); уже одно начало работы, медленный ее ход дадут вам почувствовать, что такое "настоящий" миллион"

МИЛЛИОН СЕКУНД

Здесь я предлагаю доступный для каждого способ развить в себе возможно отчетливое представление о величине миллиона. Для этого нужно дать себе труд поупражняться в мысленном миллионном счете мелких, но хорошо знакомых нам единиц — шагов, минут, спичек, стаканов и т. п. Результаты получаются нередко неожиданные и поразительные.

Приведем несколько примеров.

Сколько времени отняла бы у вас работа — пересчитать миллион каких-либо предметов, по одному в каждую секунду?