Отец Константина, Николай Иванович, состоятельный купец, был известен как начитанный, образованный человек, который любил музыку и литературу. Музыкальные способности Кости проявились рано. С четырёх лет его стали учить игре на фортепиано. В восьмилетнем возрасте он уже выступил в смешанном концерте с фантазией из оперы Верди «Трубадур». А будучи 13-летним гимназистом, уже дал публичный концерт вдвоем с товарищем. Прямая дорога вела в Москву, в консерваторию. Здесь Игумнов занимался по фортепиано сперва у А. И. Зилоти, а затем у П. А. Пабста, обучался по теории музыки и композиции у С. И. Танеева, А. С. Аренского и М. М. Ипполитова-Иванова и по камерному ансамблю у В. И. Сафонова. В ту же пору (1892–1895) он учился на историко-филологическом факультете Московского университета. С пианистом Игумновым москвичи познакомились еще в 1895 году, когда он получил диплом на 2-м Международном конкурсе пианистов им. Антона Рубинштейна в Берлине и начал активно концертировать в стране и за рубежом. Вскоре Игумнов занял видное место среди русских концертирующих исполнителей. Одновременно началась и его педагогическая деятельность.
Сам Игумнов, называя свой исполнительский путь «сложным и извилистым», разделял его на четыре периода: «1895–1908 гг. — период академический; 1908–1917 гг. — период зарождения исканий под влиянием художников и писателей (Серов, Сомов, Брюсов и др.); 1917–1930 гг. — период переоценки всех ценностей; увлечение колоритом в ущерб рисунку, злоупотребление rubato; 1930–1940 гг. — постепенное формирование взглядов на проблемы пианизма. «Однако вполне, — пишет Игумнов, — я осознал их и нашел себя лишь после Великой Отечественной войны».
Игумнов добивался своих поразительных художественных откровений во многом за счет необычайной художественной интуиции. Но не только. Немногословный по своей натуре, он однажды приоткрыл «дверь» в свою творческую лабораторию:
«Я думаю, что всякое музыкальное исполнение есть живая речь, связный рассказ… Но только рассказывать — это еще мало. Надо, чтобы в рассказе было определенное содержание и чтобы у исполнителя всегда было что-то такое, что приближало бы его к этому содержанию. И здесь я не могу мыслить музыкального исполнения абстрактно: мне всегда хочется прибегнуть к каким-либо житейским аналогиям. Короче говоря, содержание рассказа я черпаю или из личных впечатлений, или из природы, или из искусства, или из определенных идей, или из определенной исторической эпохи. Для меня несомненно, что в каждом значительном произведении выискивается нечто такое, что связывает исполнителя с реальной жизнью. Я не представляю себе музыки ради музыки, без человеческих переживаний… Вот почему необходимо, чтобы исполняемое произведение находило какой-то отклик в личности исполнителя, чтобы оно ему было близко. Можно, конечно, перевоплощаться, но какие-то связующие личные нити всегда должны быть. Нельзя сказать, чтобы я обязательно представлял себе программу произведения. Нет, то, что я себе представляю, — это не программа. Это только какие-то чувства, мысли, сопоставления, помогающие вызвать настроения, аналогичные тем, которые я хочу передать в своем исполнении. Это как бы своеобразные „рабочие гипотезы“, облегчающие постижение художественного замысла».