Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Акция, соответствующая четвертому пункту (мю-операция), иначе называется операцией взятия наименьшего числа. Ее включили в определение рекурсивных функций, так сказать, неохотно, под давлением суровой необходимости (в первоначальном определении у Гёделя мю-операции не было), поскольку без нее, как выяснилось, не могут быть получены некоторые функции, играющие в математике важную роль. Как мы отметили выше, функции, в которых участвуют только подстановка и рекурсия, называют примитивно рекурсивными, особо выделяя тем самым мю-операцию. Каков же познавательный статус этой операции? Чем существенным отличается она от подстановки и рекурсии?

Посмотрим сначала, как конкретно функционирует мю-операция. Пусть надо задать способ нахождения наименьшего числа у, для которого выполняется некое условие g°(x1, x2, y) = 0, имеющее вид 100 ∸ х1•х^y₂ = 0 (напомним, что это равенство равносильно неравенству х1 • х^y₂ >> 100). Это означает, что над функцией g° (х1, х2, у) надо произвести мю-операцию — определить функцию f° (х1,x2) = μy(g° (x1, x2, y) = 0) = μy(100 ∸ x1 • х^y₂ = 0).

Сделать это нетрудно, так как функция g° задана, и мы для каждого набора значений ее аргументов х1, х2 можем установить (путем перебора, начинающегося с нуля) то наименьшее значение ее аргумента у, при котором g°(х1, х2, у) = 0. В самом деле, пусть значения аргументов х1, и x2 например, таковы: х1 = 3, х2 = 2. Тогда для вычисления f° (3,2,) надо поступить следующим образом.

1. Положим y = 0; вычислим g°(3, 2, 0). Получим:

100 ∸ 3 • 2° = 100 ∸ 3 • 1 = 100 ∸ 3 = 97. Условие не выполнено, поэтому сделаем следующий шаг, перейдем к значению y = 1.

2. Положим y = 1; вычислим g°(3, 2, 1). Получим:

100 ∸ 3 • 21 = 100 ∸ 3 • 2 = 100 ∸ 6 = 94. Требуемое условие не выполнено, так что возьмем следующее значение у.

3. Положим y = 2; вычислим g° (3, 2, 2). Получим:

100 - 3 • 22 = 100 ∸ 3 • 4 = 100 ∸ 12 = 88. Условие не выполнено. Перейдем к следующему значению у,

4. Положим y = 3; вычислим g° (3, 2, 3). Получим:

100 ∸ 3 • 23 = 100 ∸ 3 • 8 = 100 ∸ 24 = 76. Требуемое условие не выполнено; берем следующее значение у.

5. Положим y = 4; вычислим g° (3, 2, 4). Получим:

100 ∸ 3 • 24 = 100 - 3 • 16 = 100 - 48 = 52. Требуемое условие не выполнено; сделаем еще один шаг.

6. Положим y = 5; вычислим g° (3, 2, 5). Получим:

100 ∸ 3 • 25 = 100 ∸ 3 • 32 = 100 ∸ 96 = 4. Требуемое условие не выполнено, и мы возьмем на единицу большее значение у.

7. Положим у = 6; вычислим g° (3, 2, 6). Получим:

100 ∸ 3 • 26 = 100 ∸ 3 • 64 = 100 ∸ 192 = 0. Условие на этот раз выполнено, поэтому в качестве значения функции f° берется число 6—мы пишем: f° (3, 2) = μy(g° (3, 2, 6) = 0) = 6.

Таким же образом, конечно, можно вычислить значение функции f° для любых значений двух ее аргументов.

Продемонстрированная нами серия однообразных действий показывает те «микроакции», из которых складывается мю-операция. Главная особенность вычислительного процесса данного типа состоит в том, что в качестве его кирпича фигурирует условный оператор, очень важный в кибернетике.

Условным операторам называется такое предписание, которое определяет действие не единственным образом, а предусматривает два его варианта: первый осуществляется в случае, когда условие, входящее в состав оператора, выполнено, а второй реализуется в противном случае, если условие не выполнено. Условие, конечно, должно быть таково, чтобы проверка его выполнения носила конструктивный — осуществимый по ясным правилам в течение конечного времени — характер. Можно еще сказать, что условный оператор образует «точку ветвления» процесса вычисления, зависящего от выполнения или невыполнения некоторого конструктивно проверяемого условия.

Наличие условного оператора вносит элемент своего рода неопределенности (осуществляя вычислительный процесс по схеме, содержащей такой оператор, мы не знаем заранее, на каком шаге будет выполнено заключенное в нем условие и будет ли выполнено вообще), не принятый в классической теории функций прием отыскания значений с помощью «проб и ошибок», прямым перебором натурального ряда. Однако этот элемент вполне естествен, если смотреть на математику как на результат человеческого творчества, как на процесс созидания знаковых моделей.

Перебор значений натурального аргумента с проверкой на каждом этапе простого условия не вызывает опасений в отношении своей ненадежности; во всяком случае он более надежей, чем такие процессы, санкционированные классическим анализом, как, скажем, переход к пределу или оперирование с действительными числами, большинство из которых остаются не выразимыми ни в какой символике. Каждый отдельный шаг в мю-операции общепонятен, элементарен и целиком и одновременно обозрим; акты же ветвления процессов в зависимости от выполнения условий пронизывают всю природу и человеческое поведение и всем хорошо знакомы.