Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Функции, получающиеся из исходных конечным числом применений схем порождения I и II, называются примитивно рекурсивными; как очевидно, эти функции являются всюду определенными. К примитивно рекурсивным относятся не все, а только часть арифметических функций (правда, наиболее часто встречающееся такого рода функции примитивно рекурсивны). Если разрешить применять схему порождения III, то функции, которые будут таким образом возникать, называются частично рекурсивными. Хотя частично рекурсивные функции — как и примитивно рекурсивные — в конечной счете получаются из исходных (примитивно рекурсивных) функций (а), (б), (в), они в общем случае не всюду определены; это вызывается спецификой (μ-оператора, который из всюду определенной может породить частичную (и даже нигде не определенную) функцию. Если частично рекурсивная функция от n аргументов является всюду определенной (то есть если она определена для любого набора из n натуральных чисел), она называется общерекурсивной функцией. Таким образом, каждая примитивно рекурсивная функция является общерекурсивной, а каждая общерекурсивная — частично рекурсивной. Однако существуют частично рекурсивные функции, не являющиеся общерекурсивными, и общерекурсивные, не являющиеся примитивно рекурсивными.

Итак, математическая часть нами изложена; перейдем к методологическому аспекту разговора. Рассмотрим характер тех действий, которые производятся при вычислении значений рекурсивных функций.

Если исходная функция принадлежит к типу (а), то для любого набора значений ее аргументов ее значением является нуль. Эта функция «аннулирует» любой набор. Операция очень проста, она не требует особой фантазии или интуиции.

Работа с исходной функцией (б) сводится к написанию вместо данного числа такого числа, которое непосредственно следует за ним в натуральном ряду. Такая операция необходима для математики —это некий ее «голодный минимум». Она необходима также для любого конструктивного процесса, независимо от области, в которой он осуществляется. Брауэр, как мы знаем, считал процесс порождения следующего натурального числа изначальным актом, на котором зиждется вся деятельность интеллекта математика. Оставляя в стороне философскую сторону взглядов Брауэра, следует согласиться с тем, что операция «взятие следующего» обладает определенной «первичностью» — не ясно, к чему более простому можно было бы ее редуцировать.

Смысл проектирующих функций тоже очень прост: каждая из них отыскивает i-тый по порядку аргумент и объявляет его значением функции. Вычисление значений такой Функции выполняется с помощью обыкновенного счета: если дан определенный набор значений аргументов некоторой функции типа (в), то считывается нижний индекс i в ее обозначении и в упомянутом наборе отыскивается (с помощью счета) i-тое число; это число и оказывается значением функции.

Что же представляют собой акции, позволяющие строить из одних рекурсивных функций другие, вообще говоря, более сложные рекурсивные функции?

Подстановка есть не что иное, как вычисление, разбитое на два этапа: сначала вычисляются значения всех «внутренних» функций, а потом — значение «внешней» функции при аргументах, равных полученным на предыдущем этапе числам. Это — акт суперпозиции, последовательного выполнения однотипных операций. Например, суперпозиция функций I³i и S (где S — внешняя функция) порождает функцию от трех аргументов: f(х1, х2, х3) = S (I³i (х1, х2, х3)); суперпозиция функций S, I¹1, N¹ и I³1 (внешняя функция) порождает одноместную функцию q(х) = I³1 (S(х), I¹1(х), N¹(х)) и т. д. Самый придирчивый критик не заподозрит в подобных процедурах присутствия чего-либо неясного.

Вычисление по схеме примитивной рекурсии тоже не вызывает недоверия с точки зрения своей четкости и общепонятности. Это мы уже видели на примерах вычисления значения функции «усеченное вычитание», определенной рекурсивно (см. с. 127)[4]. Собственно говоря, мы очень часто пользуемся методом построения какой-то последовательности, формируя каждый ее член по предыдущим членам. В данной схеме следует обратить внимание на то, что вычисление каждого последующего значения нуждается в знании только одного, непосредственно предыдущего, значения. Это, конечно, простейший вариант подобного типа вычислений. Но тем не менее при вычислении по схеме рекурсии значения некоторой функции для какого-то значения ее аргумента (например, для числа 137) приходится на промежуточных фазах вычисления находить значения функции для всех предыдущих значений аргумента: 0, 1, 2, ..., 136, хотя каждый раз все значения, кроме самого последнего, мы можем забывать, стирать с доски и т. д.