Жемчужина Эйлера

Что толку возвращаться по старым следам? Аспид обитает на тропе, которую вы протоптали собственными ногами. Нужно прокладывать пути в Неведомое.

— Генри Дэвид Торо

⁸⁴

Чтобы поместить формулу Эйлера в современный контекст, нам придется обсудить раздел математики, называемый теорией графов. Речь идет не о графиках функций, с которыми мы знакомились в школе на уроках алгебры и основ математического анализа (y = mx + b — прямая, y = x² — парабола и т. д.), а об изучении объектов — графов, — показанных на рис. 11.1. Они состоят из точек, называемых вершинами, и соединяющих эти точки линий, называемых ребрами[7].

Рис. 11.1. Графы

В 1736-м, во время своего первого пребывания в Санкт-Петербурге, Эйлер занялся знаменитой задачей о семи кёнигсбергских мостах. Его вклад в решение этой задачи часто называют рождением теории графов и топологии.

Город Кёнигсберг был основан тевтонскими рыцарями в 1254 году. В то время он находился в Пруссии, недалеко от Балтийского моря, в развилке реки Прегель. Впоследствии он стал столицей Восточной Пруссии. Город, сильно пострадавший от бомбежек союзников во время Второй мировой войны, был передан Советскому Союзу по условиям Потсдамской конференции. После того как Кёнигсберг стал частью Советского государства, там произошло много изменений — большая часть коренных немецких жителей была выселена, город был переименован в Калининград, а река получила название Преголя. Сегодня Калининград — часть России и столица Калининградской области. Особенность Калининградской области состоит в том, что она не связана с остальной Россией, а окружена Польшей, Литвой и Балтийским морем. В отличие от таких городов, как Сталинград и Ленинград, Калининграду не было возвращено его прежнее название. Самым знаменитым жителем Кёнигсберга был философ XVIII века Иммануил Кант (1724–1804). Из Кёнигсберга также родом Христиан Гольдбах — математик, которому Эйлер сообщил об открытии формулы для многогранников.

Город расположен в развилке реки, а посередине реки, близ развилки, находится остров Кнайпхоф. Во времена Эйлера реку пересекало семь мостов, соединяющих берега и остров (рис. 11.2). Говорят, что жители Кёнигсберга на досуге гуляли по городу и развлекались, пытаясь пройти по каждому мосту ровно один раз. Но никому не удавалось найти такой маршрут. Вот из этого времяпрепровождения и возникла задача о кёнигсбергских мостах:

Может ли пешеход обойти все семь мостов, не проходя ни по какому дважды?

Неизвестно, как Эйлер узнал об этой задаче. Быть может, он услыхал о ней от своего друга Карла Элера, мэра прусского города Данцига, который переписывался с Эйлером от имени местного профессора математики. У нас имеются письма Эйлера и Элера за период с 1735 по 1742 год, и в некоторых из них обсуждается задача о кёнигсбергских мостах. Мы знаем, что поначалу Эйлер ей не заинтересовался. В 1736 г. в письме к Элеру Эйлер пишет:

Следовательно, Ты можешь убедиться, славнейший муж, что это решение по своему характеру, по-видимому, имеет мало отношения к математике, и мне не понятно, почему следует скорее от математика ожидать этого решения, нежели от какого-нибудь другого человека, ибо это решение подкрепляется одним только рассуждением, и нет необходимости привлекать для нахождения этого решения какие-либо законы, свойственные математике⁸⁵.

Но в конце концов Эйлер уделил этой задаче некоторое время. Та самая особенность, которая сначала оттолкнула его, затем пробудила интерес: задача действительно не укладывалась ни в какую из существующих математических дисциплин. Он понял, что хотя задача казалась геометрической, точные расстояния в ней не играли роли. Нужна была только информация о взаимном расположении.

Рис. 11.2. Семь кёнигсбергских мостов

В другом письме, датированном 1736 годом, к итальянскому математику Джованни Маринони (1670–1755) Эйлер писал: