Жемчужина Эйлера

Для разогрева убедимся, что эта теорема верна для большого геодезического треугольника на рис. 10.4 (в предположении, что сфера единичная). Мы можем покрыть всю сферу восемью такими треугольниками — четыре в северной полусфере и четыре в южной. Поэтому площадь треугольника равна одной восьмой площади сферы. Поскольку площадь сферы радиуса r равна 4πr², то площадь единичной сферы (г = 1) равна 4π. Следовательно, площадь треугольника равна одной восьмой от 4π, или π/2.

Легко проверить, что теорема Хэрриота-Жирара дает тот же результат. Сумма трех внутренних углов этого треугольника равна 3π/2. Поэтому, согласно теореме, площадь треугольника равна (3π/2) — π = π/2, что совпадает с предыдущим вычислением.

Это соотношение было независимо открыто Хэрриотом и Жираром. Британский ученый Томас Хэрриот — личность загадочная. Он был талантливым и активным исследователем, но никогда не публиковал своих работ. После его смерти осталось десять тысяч страниц неопубликованных рукописей, диаграмм, измерений и вычислений. Один биограф писал, что отвращение Хэрриота к публикации «во многом можно объяснить неблагоприятными внешними условиями, проволочками и нежеланием публиковать трактат, если, как он думал, его еще можно улучшить»⁷⁸. Многие его статьи были напечатаны посмертно. Больше всего он известен работами по алгебре, но занимался также оптикой, астрономией, химией и лингвистикой. Хэрриот, подобно Лейбницу и Эйлеру, снискал репутацию автора новой и элегантной математической нотации. К сожалению, из-за трудностей типографского набора нестандартных символов не все его идеи представлены в печатном виде и потому не получили широкого признания. Но два символа дошли до наших дней: < (меньше) и > (больше). Очень мало известно о личной жизни Хэрриота. В 1585 г. сэр Уолтер Рэйли отправил его в годичное путешествие в Новый Свет в качестве землемера и картографа. Так что, по-видимому, он был первым профессиональным математиком, ступившим на землю Северной Америки.

Французский математик Альбер Жирар обосновался в Голландии, скорее всего, потому что, будучи протестантом, не мог жить в отчем доме во французской Лотарингии. Сегодня он известен своими работами по алгебре и тригонометрии. Он первым стал использовать сокращения sin, tan и sec для тригонометрических функций синус, тангенс и секанс, а также символ ∛ для обозначения кубического корня. Также Жирар первым из математиков придал геометрический смысл отрицательным числам. Он писал: «Отрицательное решение в геометрии объясняется движением в обратном направлении, а знак минус означает возврат назад, тогда как + — продвижение вперед»⁷⁹.

Исторически с формулой площади сферических треугольников связывается имя Жирара, а не Хэрриота. Это и понятно, потому что первым в печати появилось доказательство Жирара, опубликованное в 1629 году⁸⁰. Жирар известен своим лаконичным стилем, в его доказательствах часто отсутствуют детали. Даже самому Жирару это доказательство казалось неудовлетворительным — он назвал результат «вероятным заключением»⁸¹. Двадцатью шестью годами раньше эту же теорему доказал Хэрриот, о чем Жирар не знал. Разумеется, как мы уже сказали, Хэрриот не опубликовал ни этот, ни какой-либо другой свой результат. Но и в секрете он его не держал. Его доказательство было известно современникам; британский математик Генри Бриггс (1561–1630) сообщил Кеплеру о результате Хэрриота и включил его в список великих открытий своего времени. Но нет никаких свидетельств того, что Жирару было известно о доказательстве Хэрриота.

Поскольку Хэрриот первым доказал теорему, а Жирар первым опубликовал ее, теперь этот результат называется теоремой Хэрриота-Жирара. Стоит отметить, что доказательство Херриота гораздо проще и элегантнее доказательства Жирара. Приведенное ниже рассуждение принадлежит Лежандру, но оно очень похоже на доказательство Хэрриота.

В доказательстве Жирара остроумно используется объект, называемый двуугольником (по аналогии с треугольником). Это область, ограниченная двумя большими окружностями (рис. 10.5). Две большие окружности всегда пересекаются в двух диаметрально противоположных точках сферы. Если две окружности пересекаются под углом a с одной стороны, то и с другой стороны они тоже пересекаются под углом a. Если угол a измерен в радианах, то площадь двуугольника (на единичной сфере) равна 2a. Этот факт легко выводится из простой пропорции: площадь двуугольника относится к полной площади сферы, как угол a к 2π (что видно по рис. 10.6). Поэтому имеем

Рис. 10.5. Двуугольник на сфере

Теперь рассмотрим на единичной сфере геодезический треугольник ABC с внутренними углами a, b и c. Этот треугольник содержится в некоторой полусфере. Продолжим стороны ABC до пересечения с границей полусферы. Обозначим (см. рис. 10.7) D, E, F, G, H, I точки, в которых эти окружности пересекаются с краем полусферы.

Рис. 10.6. Сферический двуугольник (слева) и вид сверху (справа)

Рис. 10.7. Большие окружности на полусфере