Жемчужина Эйлера

В силу симметрии сферы сумма площадей областей ADE и AGH равна площади двуугольника с углом a. Иным словами, если вырезать треугольник AGH и склеить край GH с краем ED, то получится двуугольник с углом a. Из этого наблюдения мы заключаем, что

площадь(ADE) + площадь(AGH) = площадь двуугольника = 2a.

Аналогично общая площадь треугольников BFG и BDI равна площади двуугольника с углом b, а треугольников CHI и CEF — площади двуугольника с углом c. Следовательно, имеем

площадь(BFG) + площадь(BDI) = 2b

и

площадь(CHI) + площадь(CEF) = 2с.

Складывая оба равенства, получаем

[площадь(ADE) + площадь(AGH)] +

[площадь(BFG) + площадь(BDI)] +

[площадь(CHI) + площадь(CEF)] = 2a + 2b + 2с.

Внимательно взглянув на левую часть этого выражения, мы увидим, что площадь каждой области полусферы входит в сумму по одному разу, за исключением площади треугольника ABC, которая учтена трижды. Таким образом, имеем

площадь(полусферы) + 2 площадь(АВС) = 2a + 2b + 2с.

Поскольку площадь полусферы равна 2π, получаем

2π + 2 площадь(АВС) = 2a + 2b + 2с.

Изменив порядок членов и поделив на 2, приходим к окончательному выводу:

площадь(АВС) = a + b + с — π,

что и требовалось доказать.

В доказательстве формулы Эйлера, найденном Лежандром, нам понадобится следующее обобщение теоремы Хэрриота-Жирара на геодезические многоугольники с числом сторон больше 3.

Теорема Хэрриота-Жирара для многоугольников

Площадь геодезического π-угольника на единичной сфере с внутренними углами a₁, a₂…, а_π равна a₁ + a₂ +… + a_n — nπ + 2π, или, эквивалентно, площадь = (сумма углов) — nπ + 2π.

Сумма внутренних углов любого плоского π-угольника равна (n — 2)π. (Мы более пристально рассмотрим эту теорему и ее обобщения в главе 20.) Поэтому, как и в случае треугольников, площадь геодезического многоугольника просто равна величине, на которую сумма его углов превышает сумму углов плоского многоугольника с таким же числом сторон. То есть

площадь = (сумма углов) — (сумма углов плоского n-угольника).

Чтобы понять, почему эта теорема верна, разобьем многоугольник на геодезические треугольники, проведя диагонали. При таком разбиении получается n — 2 треугольника (рис. 10.8). Сумма площадей этих треугольников равна площади многоугольника, а сумма их углов равна сумме углов многоугольника. Применив теорему Хэрриота-Жирара ко всем n — 2 треугольникам и просуммировав левые и правые части, находим площадь многоугольника:

площадь = а₁ +… + a_n — (n — 2)π = а₁ +… + а_π — nπ + 2π.

Запомнить эту формулу просто. Изобразим многоугольник, как показано на рис. 10.9. Рядом с каждым углом напишем его величину, рядом с каждым ребром —π, а в центре 2π. Площадь многоугольника равна сумме этих величин. Это наглядное представление окажется полезным для понимания доказательства Лежандра.

Рис. 10.8. Сферический многоугольник, разбитый на треугольники

Рис. 10.9. Площадь сферического многоугольника равна сумме величин на рисунке

Вот теперь, наконец, мы готовы привести рассуждение Лежандра. Начнем с выпуклого многогранника, имеющего V вершин, E ребер и F граней. Пусть x — произвольная точка внутри него. Как показано на рис. 10.10, построим сферу с центром в x, внутри которой целиком заключен многогранник. Поскольку конкретные единицы измерения не имеют значения, мы можем выбрать их так, что радиус сферы будет равен единице. Спроецируем многогранник на сферу, проведя лучи, исходящие из точки x. Чтобы наглядно представить себе эту проекцию, можно рассмотреть проволочную модель многогранника и поместить в x лампочку. Тогда проекцией будет тень проволочного каркаса на поверхности объемлющей сферы. Мы не станем доказывать этот факт, а просто отметим, что в этом случае грани многогранника отображаются в геодезические многоугольники.

В своем доказательстве Лежандр использовал стандартный математический прием. Он вычислил одну и ту же величину — в данном случае площадь единичной сферы — двумя разными способами, установив тем самым некое равенство. Сначала он воспользовался хорошо известным фактом — площадь единичной сферы равна 4π. А затем он сложил площади всех граней на сфере, которые в сумме, естественно, составляют полную площадь поверхности.

Рис. 10.10. Проекция многогранника на сферу

По теореме Хэрриота-Жирара, площадь каждой π-угольной грани равна сумме внутренних углов минус nπ — 2π. Вместо того чтобы работать с этой формулой непосредственно, мы воспользуемся наглядным представлением на рис. 10.9. Пометим все углы, ребра и грани на сфере — рядом с каждым углом поместим его величину, рядом с каждым ребром —π, а в центре каждой грани 2π. В результате получится картина, изображенная на рис. 10.11. Чтобы вычислить площадь сферы, просуммируем величины всех меток.

Рис. 10.11. Проекция с метками