Жемчужина Эйлера

Теперь мы немного отвлечемся и определим род квадратного узла. Простые числа являются кирпичиками, из которых построены все положительные целые числа. Число p > 1 называется простым, если его единственными делителями являются оно само и 1, в противном случае число называется составным. Аналогично мы определим простые узлы — кирпичики, из которых состоят все узлы. Для этого нам понадобится способ «умножения» узлов.

Пусть даны узлы K и L, тогда их произведение, обозначаемое K#L, строится следующим образом. Поместим проекции K и L рядом друг с другом (но так, чтобы они не пересекались). Разрежем внешние пряди обоих узлов и соединим все четыре конца, не создавая новых пересечений. На рис. 18.12 мы видим, что квадратный узел является произведением трилистника и его зеркального изображения (произведение двух трилистников называется бабушкиным узлом).

Узел M называется простым, если из того, что M = K#L, следует, что K или L — тривиальный узел[10]. Иными словами, узел простой, если его нельзя записать в виде произведения двух нетривиальных узлов. Нетривиальный узел, не являющийся простым, называется составным. Очевидно, что простота является инвариантом узла. Мы показали, что квадратный узел составной. Примем без доказательства, что трилистник, восьмерка, печать Соломона и пряничный человечек — простые узлы, поэтому ни один из них не может быть изотопичен квадратному узлу.

Рис. 18.12. Композиция трилистника и его зеркального изображения является квадратным узлом

Предположим, что нам известны рода узлов K и L. Легко ли определить род K#L? Обозначим S_K и S_L поверхности Зейферта узлов K и L минимального рода. Используя те же самые проекции K и L, образуем K#L и соответствующую поверхность Зейферта S_K#L. Легко видеть, что если S_K образована d_K дисками и b_K лентами, а S_L — d_L дисками и b_L лентами, то S_K#L образована d_K + d_L — 1 дисками и b_K + b_L лентами. Поэтому род S_K#L равен

½^{[1 — (d}K ^{+ d}L ^{— 1) + (b}K ^{+ b}L^)] = ½^{(1 — d}K ^{+ b}K ^{) +} ½^{(1 — d}L ^{+ b}L⁾

= g(K) + g(L).

Проблема в том, что мы не знаем, является ли S_K#L поверхностью Зейферта минимального рода для узла K#L. Поэтому мы можем только утверждать, что g(K#L) ≤ g(K) + g(L). Мы опускаем доказательство, но на самом деле S_K#L действительно имеет минимальный род. Таким образом, род аддитивен.

Для любых двух узлов K и L имеет место равенство g(K#L) = g(K) + g(L).

Эта формула позволяет вычислить род квадратного узла:

g(квадратный узел) = g(трилистник) + g(трилистник) = 1 + 1 = 2.

У этой формулы есть интересное следствие: если K или L — нетривиальный узел, то K#L тоже нетривиален. Это следует из того, что если g(K) ≠ 0 или g(L) ≠ 0, то g(K#L) ≠ 0. Вот один из способов интерпретации этого утверждения: если шнурки завязаны узлом, то невозможно взять два свободных конца и завязать узел, так чтобы узел на шнурках развязался. Узлы не имеют «обратных узлов», которые их развязывали бы.

Стоит отметить, что если K и L — альтернирующие узлы, то K#L — тоже альтернирующий узел (сможете это доказать?). Поэтому у квадратного узла, для которого мы не показали альтернирующую проекцию, такая проекция все же существует.

Хотя род узла позволяет различить много узлов, этот инвариант не полон — из того, что два узла имеют одинаковый род, не следует, что это один и тот же узел. Например, у трилистника и восьмерки род одинаковый. Поэтому либо это один и тот же узел (что не так), либо нам нужен другой метод их различения. Аналогично печать Соломона, пряничный человечек и квадратный узел имеют одинаковый род.

Далее в этой главе мы введем еще два инварианта узлов, которые позволят различить остальные узлы. Это лишь малое подмножество известных инвариантов узлов.

Первый инвариант называется раскрашиваемостью. Для проверки на раскрашиваемость мы рисуем проекцию узла карандашами трех разных цветов. Узел является раскрашиваемым, если в каждой точке пересечения встречается только один или все три цвета. Кроме того, мы требуем, чтобы вся проекция не была одного цвета. Не очень трудно доказать, что раскрашиваемость является инвариантом узла, но это доказательство мы опустим. В частности, раскрашиваемость не зависит от выбора проекции.

На рис. 18.13 видно, что трилистник раскрашиваемый (мы использовали в качестве цветов черный, серый и «пунктирный»). Но после нескольких экспериментов оказывается, что восьмерка не раскрашивается. В примере на рис. 18.13 мы следовали правилам и раскрасили первые три пряди. А с верхней прядью вышла незадача. В зависимости от того, с какой стороны мы подходим, прядь оказывается разного цвета. Не существует цвета, позволившего бы раскрасить этот узел правильно. Поэтому трилистник и восьмерка — разные узлы.

Оставляем читателю доказательство того, что квадратный узел раскрашиваемый, а печать Соломона и пряничный человечек — нет. Таким образом, мы еще одним способом доказали, что квадратный узел отличен от печати Соломона и пряничного человечка.