Жемчужина Эйлера

Иногда ученому недостаточно найти конкретное решение дифференциального уравнения. Часто более важны качественные выводы. Обладает ли система равновесным состоянием — популяциями, в которых для обоих видов частота смертей равна частоте рождений? Существуют ли начальные условия, при которых один или оба вида обречены на вымирание? А условия, ведущие к взрывному росту популяции? Будет ли поведение популяций носить циклический характер, или оно хаотично? Даже если мы в состоянии найти аналитическое решение дифференциального уравнения, ответить на такие важные «глобальные» вопросы не всегда легко.

Чтобы лучше понять, как устроены решения системы дифференциальных уравнений, необходим более наглядный, геометрический способ их представления. Есть два распространенных метода: порождение потока или векторного поля в фазовом пространстве. Поток, называемый также непрерывной динамической системой, ассоциирует с каждой точкой фазового пространства траекторию движения точки. Эта траектория попросту представляет собой кривую решения дифференциального уравнения. Несколько таких траекторий для модели хищник-добыча показаны на рис. 19.2. Видно, что для любой неравновесной пары начальных популяций их численности циклически увеличиваются и уменьшаются.

Рис. 19.2. Поток и векторное поле, ассоциированные с моделью хищник-добыча

Вместо того чтобы выражать дифференциальное уравнение алгебраически или в виде потока, мы можем описать его в терминах векторного поля. В отличие от скалярных величин, таких как температура, время, яркость или масса, которые можно описать одним значением, векторные величины имеют величину и направление. В физике вектором описывается скорость: вектор указывает направление движения, а его абсолютная величина (модуль) представляет быстроту перемещения объекта. Можно было бы привести и другие примеры, но пример скорости, наверное, самый интуитивно понятный. На самом деле если интерпретировать поток как движение частиц, то векторное поле состоит из векторов скоростей этих частиц в фазовом пространстве.

На рис. 19.2 мы видим единственную точку равновесия, в которой число лис и кроликов остается неизменным. Абсолютная величина вектора в точке равновесия равна нулю, поэтому говорят, что в этой точке векторное поле имеет ноль. А для потока это неподвижная точка, или точка покоя. Нули векторного поля часто играют огромную роль, потому что представляют точки равновесия системы.

Остаток этой главы мы посвятим исследованию векторных полей на поверхностях, а не порождающим их дифференциальным уравнениям. Наша основная цель — понять связь между нулями векторного поля и топологией поверхности.

Один из самых простых способов получить векторное поле на поверхности — поместить поверхность в трехмерное пространство и считать, что векторы «указывают в направлении подножья горы», и чем круче спуск, тем длиннее вектор. Это называется градиентным векторным полем. На рис. 19.3 показано градиентное векторное поле на сфере и торе. Чтобы представить себе поток, ассоциированный с векторным полем, вообразим, что поверхность покрыта патокой. Тогда траектории потока — это просто пути, по которым вязкий сироп сползает вниз по поверхности.

Рис. 19.3. Градиентные векторные поля на сфере и на торе

На рис. 19.3 видно, что градиентные векторные поля на сфере и на торе имеют нули — на сфере их два (один на северном полюсе, другой на южном), а на торе четыре (верхняя и нижняя точки тора и верхняя и нижняя точки дырки). Верно ли, что любое векторное поле на сфере имеет ноль? А на торе? Если мы сможем утвердительно ответить на этот вопрос для некоторой поверхности S, то получим очень сильный результат. Он означает, что если фазовым пространством системы является S, то у системы обязательно существует точка равновесия.

Частичный ответ на эти вопросы дает красивая теорема Пуанкаре-Хопфа. Она устанавливает неожиданную связь между нулями векторного поля и эйлеровой характеристикой. Чтобы понять, в чем ее суть, мы должны внимательнее познакомиться с нулями векторных полей.

Не все нули одинаковы. На рис. 19.4 мы видим пять различных нулей и соответствующие им неподвижные точки потока. Поведение в окрестности этих нулей сильно различается. Источник отталкивает все близлежащие точки, сток притягивает их, седло делает то и другое, точки вокруг центра обтекают неподвижную точку, а точки вокруг диполя утекают, а затем притекают обратно (похоже на линии магнитного поля вокруг стержневого магнита).

Рис. 19.4. Векторные поля в окрестности нуля и соответствующие им потоки

Источники, стоки и седла часто встречаются как нули градиентного потока. На рис. 19.5 мы видим источник в верхней точке перевернутой чаши, сток в нижней точке чаши, а седло в середине седлообразной поверхности. Заметим, что на рис. 19.3 градиентный поток на сфере имеет один источник и один сток, а градиентный поток на торе — один источник, один сток и два седла.