Жемчужина Эйлера

Интуиция подсказывает, что стоки, седла и источники чем-то различаются и должно существовать правило, описывающее количество нулей каждого типа. Из примера градиентного потока мы видим, что на сфере может находиться векторное поле с двумя нулями, но трудно представить себе векторное поле на сфере с одним стоком и одним седлом. Ключевая идея, позволяющая различать нули, — индекс.

Рис. 19.5. Источник, сток и седло в градиентном векторном поле

Индекс нуля вычисляется следующим образом. Нарисуем вокруг нуля небольшую окружность, удовлетворяющую всего двум условиям: (1) она должна содержать только один ноль и (2) она должна быть краем диска (например, на торе такая окружность не может охватывать трубку или центральную дырку). Теперь поместим в каждую точку на окружности воображаемый циферблат. Стрелка циферблата должна указывать в том же направлении, что векторное поле. (Если бы векторное поле описывало магнитное поле, то в качестве циферблата можно было бы использовать компас.) Если мы будем перемещать циферблат вдоль окружности, то стрелка будет поворачиваться. Переместим циферблат на один оборот против часовой стрелки. Всякий раз, как стрелка один раз повернется против часовой стрелки, будем прибавлять к индексу единицу, а всякий раз, как она повернется по часовой стрелке, будем вычитать единицу. Индекс часто называют числом вращения векторного поля вокруг нуля.

Рассмотрим сток на рис. 19.6. Мы видим циферблат в восьми положениях на окружности. Когда циферблат совершает один оборот вокруг окружности против часовой стрелки, его стрелка один раз поворачивается против часовой стрелки. Поэтому индекс стока равен 1. Для седла стрелка совершает один оборот по часовой стрелке, когда циферблат один раз обходит нуль против часовой стрелки. Поэтому индекс седла равен –1. Аналогично вычисляются индексы остальных нулей на рис. 19.4. Индекс источника и центра равен 1, а индекс диполя равен 2.

Теперь опишем второй способ вычисления индекса векторного поля. Он пригодится нам в дальнейшем. Поместим ноль во внутреннюю область многоугольной грани (она может иметь и закругленные ребра). Многоугольник должен удовлетворять нескольким условиям, а в остальном может быть любым. Как и раньше, многоугольник следует выбирать так, чтобы в нем не было других нулей и чтобы он ограничивал диск. Кроме того, потребуем, чтобы любой вектор, начинающийся на ребре, указывал внутрь или наружу. Нам не нужны векторы, указывающие вдоль ребра. (Такой многоугольник всегда существует, хотя это и не очевидно.) На рис. 19.7 мы видим седло внутри квадрата и сток внутри шестиугольника, расположенные таким образом, что все векторы указывают внутрь или наружу.

Рис. 19.6. Индекс стока равен 1, а индекс седла равен –1

Рис. 19.7. Индекс седла равен 2(–1) + 1 = –1, а индекс стока — 6(–1) + 7(–1) = 1

Теперь выделим ребра и вершины, в которых векторное поле указывает внутрь. На каждом таком ребре поставим –1, а в каждой вершине 1. Наконец, поставим 1 в середину многоугольника. Оказывается, что сумма всех этих чисел равна индексу нуля. Мы видим, что это верно для седла и стока на рис. 19.7.

Вот теперь, наконец, мы можем сформулировать теорему Пуанкаре-Хопфа. Она дает топологический способ определить, есть ли ноль у векторного поля (или, что эквивалентно, есть ли неподвижная точка у потока). Кроме того, она проясняет вопрос об относительном числе нулей каждого типа на конкретной поверхности.

Теорема Пуанкаре-Хопфа

Для любого векторного поля на замкнутой поверхности S с конечным числом нулей сумма индексов всех нулей равна эйлеровой характеристике поверхности χ(S).

Прежде чем доказывать эту теорему, приведем несколько примеров. На рис. 19.8 показано три разных векторных поля на сфере. Первое, градиентное векторное поле, имеет сток и источник (оба с индексом 1), второе — два центра (оба с индексом 1), а третье — один диполь (с индексом 2). Во всех трех случаях сумма индексов равна 2 — эйлеровой характеристике сферы.

Рис. 19.8. Три векторных поля на сфере

Выше мы видели, что градиентное векторное поле на торе (рис. 19.3) имеет четыре нуля — один источник, два седла и один сток. Сумма их индексов равна 1 + 2(–1) + 1 = 0, т. е. эйлеровой характеристике тора.

В качестве дополнительного бонуса градиентные векторные поля позволяют вычислять эйлерову характеристику поверхностей, не рисуя вершин, ребер и граней. На рис. 19.9 мы видим сферу, согнутую в виде U-образного тела. Градиентное векторное поле имеет два источника, одно седло и один сток, поэтому сумма индексов равна 2(1) + 1(–1) + 1(1) = 2. Двойной тор имеет один источник, четыре седла и один сток, поэтому χ(двойной тор) = 1 + 4(–1) + 1 = –2. На бутылке Клейна один источник, два седла и один сток, поэтому χ(бутылка Клейна) = 1 + 2(–1) + 1 = 0. Подведем итог:

Если нули градиентного векторного поля на поверхности S включают только источники, седла и стоки, то χ(S) = число источников — число седел + число стоков.

Рис. 19.9. Эйлеровы характеристики сферы, двойного тора и бутылки Клейна соответственно равны 2, –2 и 0