Жемчужина Эйлера

Теорема о причесывании ежа неприменима к нашим головам, потому что волосистая часть головы человека топологически не является сферой — это диск. И действительно, в «зачесанных назад» прическах и «конских хвостах» волосы не торчат. Но у человека, подстриженного «ежиком», волосы часто растут в направлении от центра головы — вниз на затылке, к ушам по бокам и в сторону лица спереди. Поскольку это «волосяное» векторное поле направлено наружу вдоль края, то сумма индексов нулей должна быть равна χ(диск) = 1. Поэтому в каком-то месте головы должен быть вихор. У маленькой дочки автора (на голове у которой пока еще растет пушок) есть зачатки трех вихров, двух спиралей, закрученных наружу (все с индексом 1) и седло между ними (с индексом 0).

Теперь мы наметим доказательство теоремы Пуанкаре-Хопфа для поверхностей без края (его нетрудно модифицировать для поверхностей с краем). Доказательство основано на идее Уильяма Тёрстона (1946–2012)¹⁸⁰.

Начнем с тщательно выбранного разбиения поверхности. Сначала поместим каждый ноль векторного поля внутрь многоугольной грани, не содержащей других нулей. Эти грани могут иметь произвольную форму, с любым числом сторон, при условии что ни один вектор, начинающийся на ребре, не направлен параллельно ребру. То есть всякий вектор на границе должен указывать внутрь или наружу.

Сейчас мы имеем грани, охватывающие все нули векторного поля. Завершим разбиение, триангулировав оставшуюся часть поверхности. Это можно сделать как угодно, но, как и раньше, мы требуем, чтобы все векторы, начинающиеся на границах треугольников, были направлены внутрь или наружу, но не вдоль ребра (см. рис. 19.14).

Теперь поместим 1 в каждую вершину, –1 на каждое ребро и 1 — в центр каждой грани. Просуммировав эти числа по всей поверхности, мы получим V — E + F, или χ(S). Точнее, поскольку каждое ребро является общей границей двух граней, а векторное поле направлено внутрь одной из этих граней, будем располагать относящуюся к ребру –1 внутри той грани, в направлении которой указывает вектор. Аналогично каждая вершина расположена в точке схождения нескольких граней, но есть одна, внутрь которой указывает вектор. Поставим 1 именно в этой грани (см. рис. 19.14).

Рис. 19.14. Разбиение поверхности на грани, содержащие не более одного нуля, и соответствующая пометка вершин, ребер и граней

Сначала рассмотрим треугольные грани, не содержащие нулей векторного поля. Как показано на рис. 19.15, возможно всего два случая. Первый — когда векторы направлены внутрь на одном ребре и ни в одной вершине. Второй — когда векторы направлены внутрь на двух ребрах и на вершине между ними. В обоих случаях сумма 1 и –1 равна нулю. Поэтому эти треугольные грани не дают никакого вклада в эйлерову характеристику.

Рис. 19.15. Треугольники, не содержащие нулей, не дают никакого вклада в эйлерову характеристику

С другой стороны, вспомним, что для граней, содержащих нули, эту технику можно использовать для вычисления индекса. Таким образом, каждая грань, содержащая ноль, вносит в сумму вклад, равный индексу этого нуля. По теореме Пуанкаре-Хопфа, сумма всех 1 и –1 равна, с одной стороны, эйлеровой характеристике, а с другой — сумме индексов нулей.

Как уже было сказано, теорема Пуанкаре-Хопфа говорит о векторных полях, но поскольку векторные поля можно использовать для построения потоков, то ее можно интерпретировать так же, как теорему о неподвижной точке непрерывной динамической системы. В заключение этой главы мы упомянем еще одну знаменитую теорему о неподвижной точке.

Поток на поверхности — это математический способ описать непрерывное движение частиц. Теперь мы рассмотрим родственную, но совершенно иную ситуацию. Предположим, что вместо того чтобы течь, каждая точка на поверхности S перепрыгивает в новое положение. Математически это движение можно описать с помощью непрерывной функции f с областью определения S и областью значений S (говоря «непрерывная», мы просто имеем в виду, что близкие точки переходят в близкие). Первоначально точка имеет координату x, а затем перемещается в новую точку с координатой f (x). Как и в случае потоков, нас особенно интересуют точки, которые остаются на месте. Точка y на поверхности S называется неподвижной точкой f, если f (y) = y (см. рис. 19.16).

Рис. 19.16. Точка y является неподвижной точкой f, а x — нет

Пожалуй, самой знаменитой из всех теорем о неподвижной точке является теорема Брауэра. Она применима к непрерывной функции из n-мерного шара в него же. N-мерным шаром Вⁿ называется множество всех точек n-мерного пространства, удаленных от начала координат на расстояние, не большее единицы. Иначе говоря, это множество точек, удовлетворяющих неравенству x²₁ + x²₂ +… + х²_n+1 ≤ 1, или попросту — множество точек внутри и на поверхности (n — 1) — мерной сферы S^n-1. Свой результат Брауэр доказал для B³ 1909 году¹⁸¹, а для Вⁿ (n > 3) в 1912 году¹⁸².

Теорема Брауэра о неподвижной точке

Любая непрерывная функция из Вⁿ в себя должна иметь неподвижную точку.