Жемчужина Эйлера

Интересы Пуанкаре охватывали всю математику, но на протяжении всей карьеры он снова и снова возвращался к изучению дифференциальных уравнений. Его успехи в этой области поражают воображение. По словам математика Жана Дьедонне (1906–1992), «самым выдающимся плодом творчества Пуанкаре стала… качественная теория дифференциальных уравнений. Это один из немногих примеров математической теории, которая внезапно возникла из ниоткуда и почти сразу достигла совершенства в руках своего создателя»¹⁷³. Показательным примером стало его открытие формулы индекса.

Свой первый вклад Пуанкаре сделал в 1881 году. В этой работе он взял дифференциальное уравнение и построил векторное поле на сфере. Он определил индекс нуля и доказал, что сумма индексов всех нулей равна 2⁵¹⁷⁴. Конечно, это не простое совпадение, поскольку 2 совпадает с эйлеровой характеристикой сферы. Пуанкаре явно сформулировал это наблюдение в 1885 году, доказав, что сумма индексов нулей векторного поля на поверхности равна ее эйлеровой характеристике¹⁷⁵. В следующем году он определил индекс нуля векторного поля в n-мерном пространстве и представил набросок идеи n-мерной теоремы об индексе. Трудность развития этой программы заключалась в том, что топологического аппарата еще не существовало (его, как мы увидим в главе 23, Пуанкаре создал позднее).

В 1911 году Брауэр обобщил теорему Пуанкаре об индексе на n-мерную сферу Sⁿ. Мы знакомы с S¹, единичной окружностью на плоскости (x² + у² = 1), и S², единичной сферой в трехмерном пространстве (x² + y² + z² = 1). Вообще, Sⁿ — это множество точек, удаленных на расстояние 1 от начала координат в (n + 1) — мерном пространстве (x₁² + x₂² +… + x²_n+1 = 1). Брауэр доказал, что для любого векторного поля на Sⁿ сумма индексов нулей равна 0, если n нечетно, и 2, если n четно¹⁷⁶. В главах 22 и 23 мы обсудим эйлерову характеристику в многомерных пространствах. И узнаем, что χ(Sⁿ) = 0, когда n нечетно, и χ(Sⁿ) = 2, когда n четно.

Следующим из основных соавторов был Хайнц Хопф (1894–1971). Хопф родился в немецком городе Бреслау (ныне Вроцлав в Польше). Его труды по топологии оказали значительное влияние на математику XX века. Один ученик Хопфа писал: «Хопф с безошибочным инстинктом выбирал глубокие проблемы и давал им возможность созреть. А затем представлял целостное решение, демонстрирующее новые мысли и методы»¹⁷⁷.

Рис. 19.13. Хайнц Хопф

В своих мемуарах Хопф отмечает, что поворотным моментом в его математической карьере стал двухнедельный период в 1917 году — отпуск с военной службы во время Первой мировой войны. Он сидел на занятиях в университете Бреслау во время изложения топологической теоремы Брауэра. После службы на Западном фронте, где он был дважды ранен и получил Железный крест, он возобновил изучение математики в университете Бреслау. Его математическая карьера заводила его в несколько немецких университетов, Принстонский университет и, наконец, в Швейцарскую высшую техническую школу (ETH) в Цюрихе.

Через два года после его приезда в Швейцарию к власти в Германии пришла нацистская партия. Хотя он воспитывался в протестантской вере, его отец был евреем. Соломон Лефшец и другие принстонские ученые убеждали Хопфа вернуться, но они с женой отказались покидать Швейцарию, а старались помогать беженцам из Германии. В конце концов, немецкое правительство пригрозило лишить его гражданства в случае невозвращения. С неохотой он отказался от немецкого гражданства и принял швейцарское. После войны Хопф остался в Швейцарии и усердно работал над восстановлением математики в Германии.

Из многочисленных важных вкладов Хопфа в топологию одним из первых стала топология векторных полей. Начиная с 1925 года он опубликовал серию статей, обобщающих теорему Пуанкаре об индексе¹⁷⁸. Мы сформулировали теорему Пуанкаре-Хопфа для поверхностей, но Хопф доказал, что она применима и к многомерным обобщениям поверхностей — многообразиям (мы еще поговорим о многообразиях в главе 22).

Хотя теорема Пуанкаре-Хопфа обычно формулируется для замкнутых поверхностей, математики открыли различные ее обобщения. Существует очень общий вариант для поверхностей с краем¹⁷⁹, но мы сформулируем следующую более простую версию.

Теорема Пуанкаре-Хопфа для поверхностей с краем

Пусть на поверхности с краем S определено векторное поле с конечным числом нулей. Если векторное поле направлено внутрь на каждой компоненте края (или наружу на каждой компоненте края), то сумма индексов всех нулей равна эйлеровой характеристике поверхности χ(S).