Жемчужина Эйлера

Дьёрдь Пойя (1887–1985) нашел следующее короткое и элегантное доказательство теоремы о сумме внешних углов для выпуклых многоугольников¹⁸⁴. В каждом угле проведем два выступающих наружу отрезка, перпендикулярных сходящимся в этом угле сторонам (рис. 20.2). Построим на этих отрезках сектор единичной окружности при каждой вершине. Заметим, что угол этого сектора в точности равен внешнему углу. Это так, потому что сумма двух прямых углов равна π, поэтому внутренний угол и угол сектора в сумме также должны давать п. Поскольку стороны каждой пары соседних секторов параллельны, из этих секторов можно собрать полный круг. Поэтому сумма внешних углов равна 2 π. Мы опустим доказательство для невыпуклых многоугольников, но оно вытекает из того факта, что любой невыпуклый многоугольник можно разложить на выпуклые.

Рис. 20.2. Сумма внешних углов многоугольника равна 2π

В некотором смысле теорема о сумме внешних углов ничуть не удивительна. Автомобиль, движущийся по дороге в форме многоугольника, будет поворачивать в каждом угле, а величина каждого поворота равна внешнему углу. Чтобы вернуться в исходную точку, автомобиль должен совершить полный оборот на 360°.

Типичному взрослому человеку придется напрячься, чтобы вспомнить формулу корней квадратного уравнения или теорему Пифагора, но есть один математический результат, который сможет отбарабанить практически любой взрослый: сумма внутренних углов треугольников равна 180° (или, как говорят, π радиан). Это простое следствие теоремы о сумме внешних углов. если a, b, c — внутренние углы треугольника, то π — а, π — b и π — c — его внешние углы. По теореме о сумме внешних углов, (π — a) + (π — b) + (π — c) = 2π. После перегруппировки членов получаем a + b + c = π.

Для многоугольников с большим числом сторон сумма внутренних углов больше 180° и зависит от числа сторон. если a₁…, a_n — внутренние углы многоугольника, то по теореме о сумме внешних углов:

2π = (π — а₁) + (π — а₂) +… + (π — a_n).

После перегруппировки членов получаем следующую полезную теорему.

Теорема о сумме внутренних углов

Сумма внутренних углов n-многоугольника равна (n — 2)π.

Чтобы упростить переход к формуле Декарта для многогранников, полезно будет взглянуть на внешние углы многоугольников немного по-другому. Будем считать, что вершины многоугольника — это «дефектные» прямые. Тогда можно спросить, насколько ломаная линия отличается от прямой в каждой вершине. Если внутренний угол равен а, то ломаная отличается от прямой на π — a — величину внешнего угла. Встав на такую точку зрения, будем называть π — а угловым недостатком, или угловым дефектом, вершины. Поэтому теорему о сумме внешних углов можно переформулировать следующим образом.

Теорема о сумме внешних углов (другая формулировка)

Полный угловой недостаток любого многоугольника равен 2π.

Существует аналог теоремы о сумме внешних углов для гладкого случая. Снова рассмотрим аналогию с автомобилем. Автогонки Гран-при проходят по кольцевой извилистой трассе. Болид, участвующий в гонке «Формула-1», поворачивает то влево, то вправо, но, вернувшись к стартовой черте, делает один полный оборот против часовой стрелки. Иными словами, повороты влево и вправо взаимно уничтожаются, и остается полный оборот на 360°.

Теперь рассмотрим простую замкнутую гладкую кривую на плоскости (трассу автогонки, см. рис. 20.3). Выберем на кривой ориентацию и расположим вдоль нее касательные векторы, указывающие в этом направлении (свет фар автомобиля). Нас интересует поведение этих касательных векторов при прохождении всей кривой один раз. если кривая является окружностью, то после одного полного оборота против часовой стрелки векторы тоже совершат один полный оборот против часовой стрелки — на угол 2π. Полезно представить себе касательный вектор как стрелку циферблата. Когда циферблат огибает окружность, стрелка совершает ровно один оборот против часовой стрелки. Если кривая более сложная, то при перемещении циферблата по кривой стрелка может двигаться как вперед, так и назад, но в конце концов совершит ровно один оборот по циферблату.

Рис. 20.3. Касательный вектор к простой замкнутой кривой совершает оборот на 2π

Это наблюдение может показаться очевидным (и так оно и считалось долгое время), но доказать его трудно. В 1935 году Хопф доказал теорему¹⁸⁵, которая сейчас известна под названием теоремы о вращающихся касательных.

Теорема о вращающихся касательных

Касательный вектор к простой замкнутой гладкой кривой на плоскости поворачивается на угол 2π.

Нетрудно заметить связь между теоремой о сумме внешних углов и теоремой о вращающихся касательных. На самом деле можно сформулировать комбинированную теорему, в которой кривая является гладкой всюду, кроме конечного числа крутых поворотов. Автомобиль, движущийся по извилистой дороге, который иногда вынужден делать крутые повороты, к моменту возврата в исходную точку совершит полный оборот на 360°.