Жемчужина Эйлера

Изучение и использование узлов столь же старо, сколь само человечество. Для любого мыслимого применения изобретено великое множество морских узлов, петель, сращиваний и арканов. Во многих культурах узлы и их проекции — постоянные темы ювелирных украшений и художественных работ. Они также были важны в производстве тканей, ибо что такое кусок ткани, как не гигантский узел? Математическое изучение узлов — гораздо более молодая дисциплина; первое математическое исследование датируется XVIII веком. Топологическая значимость узлов была впервые осознана Александром-Теофилем Вандермондом (1735–1796) в 1771 году, всего через тридцать лет после выхода статьи Эйлера о кёнигсбергских мостах. Короткая статья Вандермонда «Remarques sur les problemes de situation» (Замечания о проблемах положения) начинается словами:

Как бы ни была перекручена и запутана система нитей в пространстве, всегда можно получить выражение для вычисления ее размеров, однако на практике от этого выражения будет мало пользы. Ремесленника, плетущего кружево, сеть или еще какие-то узлы, интересуют не вопросы измерения, а вопросы положения; он видит то, каким способом нити переплетаются¹⁶².

Несмотря на многообещающее начало, занялся он не узлами, а топологическим подходом к так называемой «задаче о ходе коня» в шахматах. И все же дал краткое описание того, как можно символически описать некоторые текстильные узоры.

Из его рисунков и заметок мы знаем, что Гаусс задумывался об узлах еще в 1794 году, но, увы, ничего не опубликовал на эту тему. В одной рукописной жемчужине, датированной 1833 годом, он привел двойной интеграл, который можно было бы использовать для вычисления коэффициента зацепления двух замкнутых кривых — топологический величины, показывающей, сколько раз кривые переплетаются друг с другом¹⁶³.

А раз так, то, наверное, неудивительно, что Листинг, один из учеников Гаусса, действительно начал математически изучать узлы. Его вклад можно найти в монографии 1847 года «Топология»¹⁶⁴, часто цитируемой сокровищнице топологических курьезов. Хотя Листинг не предложил классификацию всех узлов, его, очевидно, интересовали методы различения двух узлов. Например, он утверждал, что трилистник и его зеркальное изображение — не один и тот же узел. Но предпринятое им изучение узлов было проигнорировано точно так же, как изучение ленты Мёбиуса. В итоге возникновение теории узлов связывают не с Листингом, а с двумя шотландскими физиками, работавшими над новой теорией атома.

В 1867 году Уильям Томсон (1824–1907) сделал предположение, что атомы образованы вихрями, или узлами в эфире. Томсон, больше известный как лорд Кельвин, также ввел абсолютную температурную шкалу и участвовал в проектировании первого трансатлантического телеграфного кабеля (за эту работу он был посвящен в рыцари). Согласно Кельвину, каждому атому соответствовал свой узел или связанный набор узлов, а устойчивость атома объясняется устойчивостью узла при топологической деформации. Это остроумная, хотя и неправильная идея владела умами в течение двух десятилетий.

Модель атома Томсона побудила его приятеля Питера Гатри Тэйта заняться классификацией узлов. В 1877 году Тэйт начал составлять таблицу узлов — он полагал, что создает периодическую таблицу элементов. В конечном итоге этот взгляд на химию был развенчан, но Тэйт продолжил свое исследование. К 1900 году он и американский математик индийского происхождения Чарльз Ньютон Литтл (1858–1923) составили почти полный перечень узлов с десятью или меньшим числом пересечений (имеется в виду пересечение при изображении узла на плоскости — чуть ниже мы еще поговорим о терминологии).

Для классификации узлов Тэйт пользовался в основном своей превосходно развитой интуицией. В последующие годы математики придумали мириады изобретательных инструментов для строгой дифференциации узлов. Большая их часть — инварианты узлов. В главе 17 мы обсуждали топологические инварианты поверхностей. Для узлов инварианты играют такую же роль. Инвариантом узла называется число или иная сущность, ассоциированная с узлом. Если инварианты двух узлов различны, то это должны быть разные узлы.

Рис. 18.3. Уильям Томсон (лорд Кельвин) и Питер Гатри Тэйт

Существует много инвариантов узлов, и некоторые описать очень легко. В этой главе мы познакомимся с несколькими инвариантами узлов, включая связанный с поверхностями и эйлеровой характеристикой.