Жемчужина Эйлера

Одно из выдающихся событий в истории математики: юный робкий Риман читает престарелому легендарному Гауссу, который не переживет следующую весну, лекцию о следствиях идей, которые старик, должно быть, считал своими и которые втайне лелеял. В. Вебер вспоминает, как был ошеломлен Гаусс и с каким необычайным чувством он по пути домой хвалил глубину мыслей Римана¹⁵³.

Большинство работ Римана относятся к комплексному анализу — изучению комплексных чисел и комплексных функций. Комплексное число имеет вид a + bi, где a и b — вещественные, а i = √–1. Именно стремление полностью понять природу комплексных функций лежало в основе большей части его работ — по теории функций, геометрии, дифференциальным уравнениям в частных производных и топологии. Некоторые работы были опубликованы посмертно, в т. ч. трактат по интегрированию, идеи которого теперь входят в любой вводный курс математического анализа. Печально, что жизнь этого оригинального мыслителя оборвалась из-за туберкулеза всего в сорок лет.

Поверхностями Риман заинтересовался в связи с комплексным анализом, а не с теорией многогранников. Поскольку комплексные числа имеют две степени свободы (a и b), множество комплексных чисел образует двумерную плоскость — она выглядит как евклидова плоскость, только одна ось вещественная, а другая мнимая.

Риман изучал многозначные комплексные функции. Например, рассмотрим функцию f(z) = ∜z. Чему равно значение f(16)? Это должно быть число w, обладающее тем свойством, что w⁴ = 16. Нетрудно видеть, что в комплексной области таких чисел четыре: 2, –2, 2i, –2i. Следовательно, одному входу соответствует четыре выхода. Интерпретировать это можно, сказав, что график функции имеет несколько уровней, или ветвей. Риман остроумно решил рассматривать такой граф как поверхность, которая теперь называется римановой поверхностью. У римановых поверхностей весьма интересная топология, но они всегда ориентируемые.

Именно отсюда берут начало исследования Римана по топологии. Он ввел понятие рода поверхности (и связанное с ним понятие связности, которое мы обсудим в главе 22). Он сгруппировал ориентируемые поверхности по роду и интуитивно понял, что две топологически эквивалентные поверхности должны иметь одинаковый род¹⁵⁴. Несмотря на эту группировку похожих поверхностей, он не увидел обратного: что две поверхности одного рода топологически эквивалентны.

Первым, кто сформулировал и доказал теорему классификации для ориентируемых поверхностей, был Мёбиус. В распоряжении Мёбиуса был инструмент, которого не было у Римана. В 1863 году он развил идею элементарной связи (то, что мы теперь называем гомеоморфизмом). Поэтому он мог с некоторой точностью сказать, что такое «две поверхности одинаковы». Мёбиус показал, что любая ориентируемая поверхность топологически эквивалентна одной из нормальных форм, показанных на рис. 17.9: сфере, тору, двойному тору и т. д.¹⁵⁵

Рис. 17.9. Нормальные формы ориентируемых поверхностей по Мёбиусу

В 1866 году Камиль Жордан доказал, что любые две ориентируемые поверхности с краем гомеоморфны тогда и только тогда, когда имеют одинаковый род и одинаковое число компонент края¹⁵⁶. Первую полную формулировку и доказательство теоремы классификации, в т. ч. для неориентируемых поверхностей, дал Дик в 1888 году¹⁵⁷. Однако это было еще до современных определений поверхности и гомеоморфизма. Первое по-настоящему строгое доказательство теоремы классификации дали Макс Ден (1878–1952) и Поул Хеегард (1871–1948) в 1907 году¹⁵⁸.

Мы не будем доказывать теорему классификации, но есть целый ряд вполне доступных изложений. Некоторые сводятся к построению поверхности для получения сферы с ручками и скрещенными колпаками. Например, доказательство ZIP («zero irrelevancy proof») Джона Конвея начинается с кучи треугольников — рассыпанных кусочков пазла триангулированной поверхности. По мере того как каждый новый треугольник помещается на расширяющуюся поверхность, она остается сферой с ручками, скрещенными колпаками и краем¹⁵⁹. Другие доказательства построены ровно наоборот — начав с поверхности, мы вырезаем из нее цилиндры и ленты Мёбиуса (т. е. ручки и скрещенные колпаки) и на каждом шаге заполняем дырки дисками, пока не получится сфера.

На первый взгляд может показаться, что род ориентируемой поверхности определить легко — ведь это же просто сфера с ручками. Но не всегда поверхность выглядит как одна из нормальных форм Мёбиуса. Например, первая поверхность на рис. 17.10 — пример сферы с 4 ручками, она гомеоморфна тору с 4 дырками.

Рис. 17.10. Необычные поверхности