Жемчужина Эйлера

Ориентируемость, размерность и количество компонент края — три важных топологических инварианта. Еще одним топологическим инвариантом, пожалуй, самым важным из всех, является величина V — E + F. Пусть дана поверхность S, разбитая на V вершин, E ребер и F граней (конечно, нужно по-прежнему избегать кольцеобразных граней). Определим эйлерову характеристику S как число V — E + F. Обычно эту величину обозначают греческой буквой хи: χ(S) = V — E + F.

Эйлерова характеристика является топологическим инвариантом поверхности.

Говоря, что эйлерова характеристика — топологический инвариант, мы имеем в виду, что у каждой поверхности своя формула Эйлера. Например, на сфере на рис. 17.6 имеется 62 вершины, 132 ребра и 72 грани, поэтому ее эйлерова характеристика равна

χ(сфера) = 62 — 132 + 72 = 2.

Как мы знаем, это верно для любого разбиения сферы или чего-то, гомеоморфного сфере.

Рис. 17.6. Разбиения сферы, тора и бутылки Клейна

У тора на рис. 17.6 имеется 8 вершин, 16 ребер и 8 граней, поэтому его эйлерова характеристика равна

χ(тор) = 8 — 16 + 8 = 0.

Аналогично у бутылки Клейна на рис. 17.6 8 вершин, 16 ребер и 8 граней, поэтому

χ(бутылка Клейна) = 8 — 16 + 8 = 0.

Доказательство того, что эйлерова характеристика — топологический инвариант, проводится в несколько шагов. Сначала нужно показать, что любую поверхность можно разбить на конечное число вершин, ребер и граней. То есть не существует поверхностей настолько странных, что для них не найдется конечного разбиения (именно здесь используется предположение о компактности, обсуждавшееся в главе 6, — у евклидовой плоскости и открытого единичного диска нет конечного разбиения, но они и не рассматриваются). В случае многогранника разбиение уже задано — это просто его вершины, ребра и грани. Произвольная поверхность не имеет встроенного разбиения. Как ни странно, первое доказательство того, что любую поверхность можно разбить на вершины, ребра и грани, появилось только в 1924 году¹⁵¹.

Далее мы должны доказать, что эйлерова характеристика не зависит от выбора разбиения. Нетрудно видеть, что при добавлении вершин и ребер в разбиение величина V — E + F не изменяется. Поэтому мы задаемся вопросом: если даны два разбиения P и P', то можно ли добавить в них вершины и ребра, так что оба разбиения будут иметь одинаковое количество вершин, ребер, треугольных граней, квадратных граней, пятиугольных граней и т. д. и их относительное расположение будет одинаково? Эта проблема была поставлена довольно рано и получила название Hauptvermutung — «основная гипотеза комбинаторной топологии». Доказана она была поздно — только в 1943 году¹⁵², — и, как мы увидим в главе 23, в многомерных пространствах дело обстоит не так просто. Поскольку основная гипотеза верна для любой поверхности, эйлерова характеристика не зависит от выбора разбиения.

Наконец, мы должны показать, что две гомеоморфные поверхности имеют одинаковую эйлерову характеристику. Если поверхности S и S' гомеоморфны и P — разбиение S, то, поскольку гомеоморфизм — взаимно однозначное соответствие между S и S', мы можем воспользоваться им, чтобы перенести разбиение P на S'. Очевидно, что χ(S) = χ(S'). Таким образом, мы дали набросок полного доказательства нашей теоремы — что эйлерова характеристика является топологическим инвариантом.

Одна из самых трудных проблем при изучении формулы Эйлера для многогранников — понять влияние «туннелей» на величину V — E + F. Люилье и Гессель утверждали, что если многогранник имеет g туннелей, то V — E + F = 2 — 2g. В современной терминологии это означает, что эйлерова характеристика равна 2 — 2g. Проблема в том, что они не определили понятие туннеля. Вместо туннелей мы теперь используем для описания этих топологических особенностей ручки (в смысле главы 16). Интересно, что они обращали внимание на дырки в телах, а мы — на ручки, ограничивающие эти дырки.

Рассмотрим, как на эйлерову характеристику влияет добавление ручки к сфере. Мы должны вырезать из сферы два диска, вместо которых можно будет прикрепить ручки. С равным успехом вместо дисков можно взять треугольные грани (рис. 17.7). Если в разбиении нет треугольных граней, разобьем какую-нибудь грань на треугольники. Мы знаем, что эйлерова характеристика сферы равна 2, а ручка является цилиндром, так что ее эйлерова характеристика равна 0. Поэтому до разрезания и склеивания мы имеем

V — E + F = χ(сфера) + χ(ручка) = 2 + 0 = 2.

Рис. 17.7. Разбиения сферы, тора и бутылки Клейна

Вырезав два треугольника, мы теряем две грани. Приклеивая ручку к сфере, мы соединяем шесть пар ребер. Таким образом, двенадцать ребер превращаются в шесть. После разрезания и склеивания V и E уменьшаются на шесть, а F уменьшается на два, так что V — E + F уменьшается на два. Следовательно,

V — E + F = χ(сфера) + χ(ручка) — 2 = 2–2 = 0.

Разумеется, мы знаем, что сфера с ручкой — это тор, так что результат не вызывает удивления.