Жемчужина Эйлера

146. Mobius (1865).

147. Во введении к Abbott (2005), xxix.

148. Klein (1882).

Глава 17 Разные или одинаковые?

Очень часто повторяют, что Геометрия — это искусство хороших рассуждений о плохо нарисованных фигурах; и все же эти фигуры, чтобы не вводить нас в заблуждение, должны удовлетворять некоторым свойствам; пропорции могут быть сильно искажены, но относительные положения различных частей нарушать не следует.

— Пуанкаре во введении к Analysis Situs

¹⁴⁹

Один из самых часто задаваемых вопросов в математике: одинаковы ли два математических объекта X и Y? В разных контекстах слово «одинаковые» может означать разные вещи. Часто одинаковые — то же, что равные, например выражение 5 4 + 6 — 23 и число 18 или многочлены x² + 3x + 2 и (x + 2)(x + 1). В других случаях одинаковость и равенство — разные вещи. Для моряка, ориентирующегося по компасу, два угла одинаковы, если они отличаются на 360° (т. е. 30° — то же, что 390°). Геометр может сказать, что два треугольника одинаковы, если они конгруэнтны или, быть может, подобны.

В топологии критерии одинаковости слабее, чем в геометрии. Тут в игру вступает аналогия с резиновым листом. Интуитивно, если одну фигуру можно непрерывно деформировать в другую, то они одинаковы. Сгибание, растяжение, перекручивание и сминание не изменяют топологию фигуры. Например, окружность на рис. 17.1 одинакова с клубком справа от нее. С другой стороны, прокалывание фигуры, разрезание ее или приклеивание к себе самой, скорее всего, даст топологически отличную фигуру. Окружность — не то же самое, что две склеенные окружности, образующие восьмерку.

В первой половине XIX века математики приложили много усилий для классификации многогранников, удовлетворяющих формуле Эйлера, — так называемых эйлеровых многогранников. Мы пришли к расплывчатому пониманию того, что все многогранники, «похожие на сферу», являются эйлеровыми, а странные исключения Люилье и Гесселя таковыми не являются. Оказывается, что формула Эйлера применима к любому многограннику, топологически эквивалентному сфере. Куб, любое платоново или архимедово тело и даже некоторые невыпуклые многогранники можно деформировать в сферическую поверхность (рис. 17.2). Неэйлеровы многогранники, например, образованные соединением двух многогранников вдоль ребра или имеющие форму тора, топологически не эквивалентны сфере.

Рис. 17.1 Этот клубок топологически эквивалентен окружности, а восьмерка неэквивалентна

Рис. 17.2. Многогранники, топологически эквивалентные и неэквивалентные сфере

Может показаться, что изучение этих фигур интуитивно очевидно, но поразительно, насколько часто мы сталкиваемся с результатами, противоречащими интуиции. Например, на рис. 17.3 мы начали с двойного тора, подвешенного на веревке, проходящей через одну из его дырок. Путем топологических манипуляций (без разрезания или склеивания!) мы приходим к результату, который поначалу кажется невозможным, — двойному тору, продетому за обе дырки.

В главе 16 мы видели разницу между внешней и внутренней размерностями. Подобную терминологию можно было использовать и в этом контексте. Примеры, приведенные выше в этой главе, обладают тем, что можно было бы назвать внешней топологией, поскольку одну фигуру можно деформировать в другую в трехмерном пространстве. Математики называют две фигуры с одинаковой внешней топологией изотопическими. Изотопия — вроде бы подходящий выбор для определения топологической «одинаковости», но в действительности топологи хотят больше свободы. Нам нужно менее ограничительное определение эквивалентности.

Рис. 17.3. Фокус с двойным тором на бельевой веревке

Чтобы две фигуры были топологически эквивалентными, они должны иметь одинаковую внутреннюю топологию. Если две поверхности эквивалентны, то каким бы умным ни был обитающий на поверхности муравей, он не сможет отличить одну от другой, не покидая поверхности. Можно найти две эквивалентные поверхности такие, что одну невозможно деформировать в другую. Таким образом, аналогия на основе резинового листа несовершенна.