Жемчужина Эйлера

Лента Мёбиуса даже лежит в основе фокуса с загадочным названием «афганские ленты», который можно проследить по крайней мере до 1882 года. Фокусник держит в руках три матерчатые петли — как он объясняет, выполняющие функции поясов для одежды. Беда в том, жалуется он, что ему нужны пояса для двух клоунов, полной дамы и сиамских близнецов. Он берет первую полоску, разрезает ее вдоль средней линии и получает пояса для обоих клоунов. Потом так же кромсает вторую полоску, но вместо двух петель получает одну удвоенной длины — пояс для полной дамы. Наконец, чтобы получить пояса для близнецов, он разрезает третью полоску и получает два сцепленных вместе пояса. Фокус, как видно на рис. 16.8, в том, что петли изначально перекручены (ноль раз, один раз и два раза соответственно). Для максимального эффекта ткань или бумага должны быть гибкими, а их ширина должна быть гораздо меньше длины, чтобы публика не заметила перекрутов. Стивен Барр предлагает следующую драматичную модификацию¹⁴³. До начала представления нанесите горючую жидкость на среднюю линию скрученной петли. Выступая перед публикой, прикрепите край петли к стене и поднесите к ткани спичку. Вспышка пламени — и петля распадается на части нужной конфигурации.

Читателю стоит отложить книгу и попробовать эти и другие варианты разрезания (см. примеры в приложении A). Попробуйте перекрутить ленты более двух раз. Попробуйте разрезать ленту Мёбиуса вдоль линии, проходящей на расстоянии 1/3 от одного из «двух» краев. Лично мне больше всего нравится фокус, придуманный Стэнли Коллинзом¹⁴⁴. Протащите ленту через обручальное кольцо и только потом перекрутите ее три раза и склейте. Если теперь разрезать ленту посередине, то образуется узел, и кольцо окажется внутри него!

Рис. 16.8. Афганские ленты

Лента Мёбиуса названа в честь Мёбиуса, но почти в то же время ее открыл Листинг (именно Листинг первым обратил внимание на математику, лежащую в основе будущего фокуса с афганскими лентами). Листинг опубликовал свое описание ленты Мёбиуса в 1861 году¹⁴⁵, через четыре года после Мёбиуса¹⁴⁶. Из переписки и замечаний следует, что первое упоминание принадлежит Листингу (июль 1858 года), который опередил Мёбиуса (сентябрь) на несколько месяцев.

Причина, по которой лента Мёбиуса не носит имя Листинга, заключается в том, что Мёбиус первым понял математический смысл свойства односторонности. Сегодня мы называем такие поверхности неориентируемыми. Есть несколько способов описать это явление математически. Мёбиус показал, что ленту Мёбиуса невозможно разбить на треугольники, а затем на каждом из них выбрать ориентацию, согласованную с соседями (см. рис. 16.9).

Впоследствии Клейн определил ориентируемость по-другому. Поместим на поверхность небольшую окружность и выберем на ней ориентацию. Эта окружность не нарисована на одной стороне поверхности, а является частью поверхности, поэтому видна на обеих сторонах (на одной она будет ориентирована по часовой стрелке, а на другой — против часовой стрелки). Представим, что поверхность сделана из папиросной бумаги, а окружность нарисована фломастером, так что просвечивает с другой стороны. Клейн называл такую окружность индикатрисой. если индикатрису можно переместить вдоль поверхности, так что она вернется в исходную точку с противоположной ориентацией, то поверхность неориентируемая. На рис. 16.10 показано, что лента Мёбиуса неориентируема, поскольку при перемещении вдоль средней линии индикатриса меняет ориентацию.

Рис. 16.9. Триангуляцию ленты Мёбиуса невозможно ориентировать

Рис. 16.10. Лента Мёбиуса неориентируема

Вальтер фон Дик (1856–1934), ученик Клейна, дал еще одно определение. Он поместил на поверхность подвижную систему координат (x, y). Если можно переместить эту систему координат по поверхности, так что оси поменяются местами, то поверхность неориентируемая (одно из преимуществ подхода Дика в том, что он легко обобщается на многомерные топологические объекты).

Интересно отметить, что математики не используют свойство односторонности для определения неориентируемости. Хотя может показаться, что односторонность и неориентируемость эквивалентны, Клейн и фон Дик доказали, что в многомерных пространствах односторонность теряет всякий смысл, а неориентируемость — нет. Понятие стороны имеет смысл только для поверхностей в трехмерном пространстве. Говорить о внутренности или внешности поверхности — даже сферы — в 4-мерном пространстве бессмысленно.

Это и другие утверждения о многомерных пространствах, которые еще будут сделаны ниже, трудно воспринять. Требуются мысленные усилия, к которым мозг человека не приучен природой. Как писал математик Томас Банхофф, «все мы рабы предрассудков своей размерности»¹⁴⁷.