Жемчужина Эйлера

Лефшец искал выразительное и в то же время, как он говорил, «сочное» название, поэтому решил позаимствовать слово Topologie из немецкого языка. Это было странно для Лефшеца, поскольку он учился во Франции, а Пуанкаре предпочитал термин analysis situs; но, раз остановившись на нем, он развернул кампанию за его всеобщее использование. Эта кампания быстро привела к успеху, как мне кажется, прежде всего из-за производных слов: тополог, топологический, топологизировать. От analysis situs их так просто не произвести!¹³⁹

Мы начнем знакомство с топологией с рассмотрения поверхностей. Примерами поверхностей являются двумерная плоскость, сфера, тор, диск и цилиндр. Поверхность — это любой объект, который локально выглядит как плоскость. Если посадить муравья на большую поверхность, то он будет думать, что сидит на двумерной глади. Умный муравей мог бы обнаружить, что поверхность не плоская, предприняв ее исследование (подобно тому, что пытался сделать Колумб, когда отправился на запад на поиски Индии), но, оставаясь на месте, он никогда этого не узнает.

Рис. 16.1. Муравей на поверхности сферы и тора

Важно понимать различие между внутренней и внешней размерностью. Муравей, сидящий на поверхности, скажет вам, что она локально двумерная — внутренняя размерность поверхности равна двум. Но чтобы мы могли построить физическую копию этой поверхности, она должна где-то находиться, размерность этого объемлющего пространства называется внешней размерностью. Внутренняя размерность сферы и тора равна двум, но они должны находиться в трехмерном пространстве, поэтому внешняя размерность равна трем. Вскоре мы встретимся со странными поверхностями, которые нельзя построить в трехмерном пространстве. Их внешняя размерность равна 4. С топологической точки зрения наиболее важна внутренняя размерность поверхности; именно поэтому мы говорим, что поверхности двумерны.

Поверхности характеризуются локальной простотой и глобальной сложностью. Иными словами, вблизи все они одинаковы. Все выглядят, как евклидова плоскость. Но глобально они могут существенно различаться. Они могут заворачиваться, иметь сквозные дыры, могут быть скрученными или завязанными в узел и т. д.

Сфера и тор — примеры замкнутых поверхностей. В них нет проколов, они не простираются в бесконечность и не имеют резких границ. Иногда мы хотим рассматривать незамкнутые поверхности. Диск и цилиндр — примеры поверхностей с краем. Поверхность с краем по-прежнему локально двумерная, но может иметь одну или более одномерных граничных кривых. Некоторые сторонники теории плоской Земли верят, что Земля имеет край. На такой планете незадачливый Колумб не добрался бы до Индии, а свалился бы через край в океан.

Для простоты мы будем использовать термин «поверхность», имея в виду компактную поверхность. Термин «компактная» означает, что поверхность ограничена и содержит все свои края. Иначе говоря, мы не рассматриваем неограниченные поверхности, такие как двумерная плоскость или цилиндрическая труба, уходящие в бесконечность в обоих направлениях. Говоря, что поверхность должна содержать все свои края, мы хотим исключить такие поверхности, как открытый единичный диск (x² + y² < 1). Открытым единичным диском называется множество всех точек, отстоящих от начала координат на расстояние, строго меньшее 1; это единичный диск (x² + у² ≤ 1), из которого удалена граничная окружность. Хорошая аналогия — обтрепанные штаны после отрезания размахрившихся краев, нам эта бахрома нужна.

В 1882 г. Феликс Клейн (1849–1925) придумал остроумный способ построения поверхностей¹⁴⁰. Он начал с многоугольника (представьте, что он сделан из очень мягкой резины) и строил поверхность, попарно склеивая его стороны. Например, если взять квадрат, скатать его в трубочку и склеить две противоположные стороны, то получится цилиндр (рис. 16.2). Заметим, что если бы вместо скатывания квадрата в цилиндр мы деформировали фигуру на плоскости, пока противоположные стороны не сойдутся (для этого нужна очень мягкая резина!), то получилось бы кольцо в виде крепежной шайбы. Для тополога цилиндр и кольцо неразличимы.