Жемчужина Эйлера

Хотя это не те многогранники, что встречаются в повседневной жизни, вычислить для них величину V — E + F все же можно. Конечно, большой икосаэдр (V = 12, E = 30, F = 20) и большой звездный додекаэдр (V = 20, E = 30, F = 12) удовлетворяют формуле Эйлера. Но остальные два нет — это еще два исключения из формулы Эйлера. Действительно, если рассматривать большой додекаэдр как многогранник с двенадцатью пятиугольными гранями, то он не удовлетворяет этой формуле. В нем 30 ребер и 12 вершин, поэтому 12–30 + 12 = –6. В малом звездном додекаэдре также 12 вершин, 30 ребер и 12 граней, так что знакочередующаяся сумма снова равна –6.

Первая половина XIX века видела много исключений из формулы Эйлера, но и много новых доказательств. К 1811 году уже существовали доказательства Эйлера, Лежандра и Коши. В 1813 году Люилье в той же статье, где были описаны три исключения¹³², дал новое доказательство того, что формула Эйлера верна для выпуклых многогранников. Как и Эйлер, Люилье разложил многогранник на пирамиды. Для этого он поместил новую вершину внутрь многогранника и построил ребра и грани, соединяющие эту вершину с вершинами и гранями исходного многогранника. Тем самым он разложил многогранник на много пирамид с общей вершиной. Затем он доказал, что формула для многогранников имеет место для любой пирамиды и для тел, построенных из пирамид таким способом.

В статье Люилье Жергонн привел доказательство для выпуклых многогранников (это доказательство через четырнадцать лет заново открыл Якоб Штайнер [1796–1863])¹³³. Жергонн спроецировал многогранник на плоскость и воспользовался рассуждениями, включающими углы многоугольников.

Одно из самых остроумных доказательств формулы для многогранников придумал Карл Георг Кристиан фон Штаудт (1798–1867) в 1847 году. У этого доказательства есть дополнительное достоинство: оно применимо к широкому классу невыпуклых многогранников. Штаудт родился в дворянской семье в Ротенбурге в Германии. В двенадцать лет он поступил в Гёттингенский университет для изучения астрономии и математики под руководством Гаусса. Его докторская диссертация по астрономии произвела на Гаусса такое впечатление, что он помог Штаудту получить место, дающее право на чтение лекций, в Вюрцбургском университете, хотя Штаудт в то время работал учителем в средней школе. В 1835 году Штаудт стал полным профессором Эрлангенского университета, где был ведущим математиком. Штаудт не отличался плодовитостью, но в 1847 году написал оказавшую заметное влияние книгу по проективной геометрии «Geometrie der Lage», к которой впоследствии добавил три длинных дополнения. Именно этой книгой он больше всего и запомнился.

Выпуклость является достаточным условием для формулы Эйлера, но, как указал Пуансо, не необходимым. В «Geometrie der Lage» Штаудт наконец дал очень общий набор условий, описывающих эйлеровы многогранники¹³⁴. Как и Коши, Штаудт неявно предполагал, что многогранники являются полыми оболочками, а не сплошными телами. Кроме того, он сделал следующие предположения о многогранниках:

1) из любой вершины существует путь в любую другую вершину, проходящий по ребрам;

2) любой путь, составленный из ребер, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине и не заходит ни в какую вершину дважды (напомним, что такой путь называется циклом), разбивает многогранник на две части.

Прозорливому критерию Штаудта удовлетворяют многие невыпуклые многогранники. Например, на рис. 15.7 показано два многогранника очень сложной формы. Первый, как выясняется, удовлетворяет всем условиям Штаудта (для него V = 48, E = 72, F = 26, так что 48–72 + 26 = 2). А второй — нет. Разрез по выделенной линии не разбивает этот многогранник на две части (для него V = 40, E = 60, F = 20, так что 40–60 + 20 = 0).

Рис. 15.7. Два многогранника сложной формы

Затем Штаудт привел красивое рассуждение, доказывающее, что для любого многогранника, удовлетворяющего этим условиям, должна выполняться формула Эйлера. Мы дадим краткий набросок данного доказательства.

Покрасим какую-нибудь вершину многогранника в красный цвет. Начав с этой вершины, покрасим одно из инцидентных ей ребер и другую его вершину в красный цвет (на рис. 15.8 этот процесс показан для куба, где жирными сплошными линиями выделены красные ребра). Затем выберем одну из двух красных вершин и покрасим инцидентное ей ребро и другую его вершину в красный цвет. Продолжим такое окрашивание ребер и вершин, соблюдая одно важное условие: не создавать красных циклов. Рано или поздно этот процесс завершится. Для любого многогранника, удовлетворяющего условиям Штаудта, это случится в точности тогда, когда все вершины будут покрашены в красный цвет. Поскольку во множестве красных ребер нет циклов, оно образует дерево и, как видели ранее (рис. 13.3 и относящийся к нему текст), красных ребер должно быть V — 1.

Рис. 15.8. Два дерева в доказательстве Штаудта