Жемчужина Эйлера

Чтобы было понятно, какие стороны склеивать и в каком направлении, их обычно снабжают стрелками. есть два разных способа склеить пару сторон: с перекручиванием и без. Чтобы обозначить нужное совмещение, мы и используем стрелки. Когда требуется склеить не одну пару сторон, а больше, используются кратные стрелки или стрелки разной формы, чтобы показать, какие стороны склеиваются. На рис. 16.3 мы склеиваем обе пары противоположных сторон квадрата. Для этого одна пара сторон помечается одиночными стрелками, а другая — двойными. Сначала склеивается одна пара сторон и получается цилиндр. Затем, поскольку обе граничные окружности имеют совместимые ориентации, мы соединяем их и получаем тор.

Рис. 16.2. Цилиндр или кольцо

Рис. 16.3. Создание тора из квадрата

В некоторых старых аркадных играх, например Asteroids, использовалось такое тороидальное представление. Покидая прямоугольный экран с одной стороны, космический корабль неожиданно появлялся с другой (рис. 16.4). А если он вылетал наверх, то появлялся снизу. В других играх применялись иные топологические конфигурации. Например, игра Pac-Man разворачивалась на поверхности цилиндра.

Нет никакой нужды ограничиваться квадратами при построении поверхностей. На рис. 16.5 показан восьмиугольник с четырьмя парами противоположных сторон (они помечены одиночными и двойными стрелками, а также одиночными и двойными треугольниками). Чтобы представить, как выглядит получающаяся поверхность, полезно сделать диагональный разрез восьмиугольника (разрез помечен тремя стрелками, чтобы впоследствии склеить его края вместе). Деформируем оба пятиугольника в квадраты с вырезом. Эти квадраты похожи на квадрат на рис. 16.3, поэтому после склеивания они образуют тор с отрезанной горбушкой. Наконец, склеиваем оба тора по границам отрезов и получаем тор с двумя дырками (или двойной тор).

Клейн доказал, что любую поверхность можно представить в виде многоугольника с парами склеенных сторон, но может существовать много представлений одной поверхности в виде многоугольников. По счастью, у каждой поверхности есть «красивое» многоугольное представление, и путем разрезания и склеивания любое многоугольное представление можно преобразовать в красивое¹⁴¹.

Во всех рассмотренных выше примерах стороны многоугольников склеивались без перекручивания. На рис. 16.6 показан квадрат, противоположные стороны которого склеены с перекручиванием. Поскольку квадрат сделан из резины, мы можем его вытянуть, скатать, как если бы собирались склеить цилиндр, но перед склеиванием повернуть один конец на полоборота. В результате получится хорошо известная лента Мёбиуса.

Рис. 16.6. Лента Мёбиуса

Хотя построить ленту Мёбиуса просто, она обладает многими удивительными свойствами. В отличие от цилиндра, у ленты Мёбиуса всего одна сторона. Муравей, ползущий вдоль средней линии ленты Мёбиуса, вернется в исходную точку, оставаясь все время на одной стороне. Эту мысль можно выразить и по-другому: цилиндр можно покрасить в синий цвет с одной стороны и в красный с другой, но лента Мёбиуса может быть только целиком красной или целиком синей. Кроме того, в отличие от цилиндра, у ленты Мёбиуса всего один край. Муравей будет видеть край слева и справа от себя, не понимая, что на самом деле это один и тот же край.

Лента Мёбиуса — топологический объект, обожаемый любителями математики. его изображали многие скульпторы и художники. Пожалуй, самый знаменитый художественный образ принадлежит М. К. Эшеру (1898–1972), который в 1963 году выполнил на дереве гравюру с изображением (кого же еще!) муравьев, ползущих по ленте Мёбиуса (рис. 16.7). Она встречается и в литературе — обычно в научной фантастике, — например в коротком рассказе Артура Кларка «Стена мрака», написанном в 1949 году¹⁴². Она же лежит в основе удостоенного награды дизайна Гэри Андерсона, который на конкурсе ко Дню Земли в 1970 году создал символ вторичной переработки, ныне встречающийся повсеместно[9]. Лента Мёбиуса применяется для создания конвейерных лент и ленточных петель, чтобы они изнашивались равномерно.

Рис. 16.7. Две знаменитые ленты Мёбиуса: «Лента Мёбиуса II» Эшера (1963) и символ вторичной переработки