Жемчужина Эйлера

Чтобы проиллюстрировать трудное для понимания заявление о том, что в 4-мерном пространстве поверхности не имеют сторон, мы понизим размерность и перейдем от поверхностей к кривым. На рис. 16.11 слева видно, что в любой точке кривой на плоскости векторы нормали могут указывать в двух направлениях (вектор называется нормальным к кривой, если он перпендикулярен касательной к ней). Таким образом, у плоской кривой есть стороны, а поскольку невозможно переместить вектор нормали вокруг кривой, так чтобы он вернулся в исходную точку, сменив направление, сторон две. Если речь идет о простой замкнутой кривой, т. е. замкнутой петле, не пересекающей саму себя, то эти направления называются внутрь и вовне (на самом деле кажущееся таким очевидным утверждение, что у всякой простой замкнутой кривой есть внутренность и внешность, — это глубокий факт, известный под названием теоремы Жордана).

Рис. 16.11. Кривая на плоскости двусторонняя, но у кривой в трехмерном пространстве нет сторон

С другой стороны, для кривой в трехмерном пространстве нормальных направлений в каждой точке бесконечно много (как показывает круг нормальных векторов на рис. 16.11 справа). Поэтому понятие стороны в данном случае бессмысленно.

Аналогично в любой точке поверхности в трехмерном пространстве нормальных направлений два (нормальный вектор перпендикулярен плоскости, касательной к поверхности). Для неориентируемых поверхностей можно переместить нормальный вектор вокруг поверхности, так что он вернется в исходную точку, сменив направление на противоположное, поэтому поверхность односторонняя (см. рис. 16.12). Для ориентируемых поверхностей это невозможно, поэтому они двусторонние. Но для поверхности в 4-мерном пространстве нормальных направлений в любой точке бесконечно много, поэтому, как и для кривой в трехмерном пространстве, говорить о сторонах не имеет смысла.

Рис. 16.12. В трехмерном пространстве лента Мёбиуса односторонняя, а тор двусторонний

Лента Мёбиуса — не единственная неориентируемая поверхность. В 1882 году Клейн открыл еще одну, вообще не имеющую края, теперь она называется бутылкой Клейна¹⁴⁸. На рис. 16.13 показано, как получить ее путем склеивания сторон квадрата. Нужно склеить противоположные стороны вместе; левая и правая склеиваются с перекручиванием, а верхняя и нижняя без перекручивания. Для построения бутылки Клейна склеим две одинаково ориентированные стороны, получится цилиндр. Если теперь свернуть цилиндр наподобие тора, то разные концы будут иметь противоположные направления. Но вместо того чтобы сразу склеивать их, мы должны «протащить» цилиндр через собственную стенку и вытащить наружу, так чтобы окружности оказались одинаково ориентированными.

Рис. 16.13. Бутылка Клейна

Что значит «протащить»? Мы не имеем в виду буквальное действие. Бутылка Клейна — наш первый пример поверхности, которую нельзя построить в трехмерном пространстве. Говоря, что бутылка проходит сквозь себя, мы имеем в виду обход в четвертом измерении. Чтобы проиллюстрировать эту малопонятную идею, снова понизим размерность. Пусть требуется провести на плоскости две непараллельные, но не пересекающиеся прямые. Очевидно, что это невозможно, но если бы было разрешено выйти за пределы двумерного листа бумаги и воспользоваться третьим измерением, то мы могли бы перед точкой пересечения перепрыгнуть через прямую (рис. 16.14). Таким образом, две прямые по существу плоские, но требуется чуть-чуть задействовать третье измерение. С помощью точно такого же приема мы можем построить и бутылку Клейна. Когда понадобится протащить горлышко сквозь стенку, мы совершим небольшой прыжок в четвертом измерении.

Рис. 16.14. Совершив обход с выходом в третье измерение, мы можем избежать пересечения прямых

Но вернемся к квадрату и создадим последнюю поверхность в этой главе. Представить ее наглядно труднее всего. Нужно склеить обе пары противоположных сторон, предварительно перекрутив каждую (рис. 16.15). Для начала деформируем квадратный лист резины, так чтобы он принял форму чаши. Будем внимательно следить за тем, какие участки границы с какими склеивать. Продолжим деформацию, так чтобы подлежащие склеиванию стороны оказались напротив друг друга и имели одинаковую ориентацию. Склеим одну пару сторон (на рис. 16.15 мы склеили стороны, помеченные двойными стрелками). Мы оказались в затруднительном положении — после такого склеивания оставшаяся пара сторон находится по разные стороны новой поверхности. Чтобы довершить склеивание, придется воспользоваться четвертым измерением, чтобы поверхность могла пройти сквозь себя. На рис. 16.15 приведено два разных представления этой странной неориентируемой поверхности, которая называется проективной плоскостью.