Жемчужина Эйлера

Такое же рассуждение показывает, что при добавлении каждой новой ручки эйлерова характеристика уменьшается на 2. Поэтому мы доказали наблюдение Люилье:

χ(сфера с g ручками) = 2 — 2g.

Аналогично можно вычислить, как влияет добавление скрещенного колпака. Напомним, что χ(скрещенный колпак) = χ(лента Мёбиуса) = 0. Поскольку краем любого скрещенного колпака является одна окружность, мы должны удалить из сферы только одну грань перед добавлением колпака. Снова предположим, что эта грань треугольная. Рассуждаем так же, как и выше: при добавлении скрещенного колпака количество ребер и вершин уменьшается на 3, а количество граней — на 1. Поэтому величина V — E + F уменьшается на 1. Следовательно, для сферы с одним скрещенным колпаком имеем

V — E + F = χ(сфера) + χ(скрещенный колпак) — 1 = 1.

Мы делаем вывод, что эйлерова характеристика проективной плоскости (сферы с одним скрещенным колпаком) равна 1. При добавлении c скрещенных колпаков получаем

χ(сфера с с скрещенными колпаками) = 2 — с.

Теперь мы знаем, как вычислить эйлерову характеристику любой поверхности, которую можно получить из сферы добавлением ручек и скрещенных колпаков. Остается важный вопрос: существуют ли поверхности, которые нельзя получить таким способом? Иначе говоря, можно ли описать все возможные поверхности в терминах ручек и скрещенных колпаков? На математическом жаргоне вопрос звучит так: можно ли классифицировать все поверхности?

В математике теоремы классификации обычно трудны или вообще невозможны. Неудивительно, что Эйлер так и не довел до конца свою классификацию многогранников. Но иногда классифицировать математические объекты удается. Ведь классифицировал же Теэтет все правильные многогранники, а Архимед — полуправильные многогранники.

Удивительно, что классифицировать поверхности (с краем и без края) можно. Каждая замкнутая поверхность гомеоморфна сфере с ручками или сфере со скрещенными колпаками. То есть каждая ориентируемая поверхность топологически эквивалентна тору с каким-то числом дырок, а каждая неориентируемая поверхность — сфере с одной или большим числом прикрепленных к ней лент Мёбиуса. На самом деле теорема даже сильнее. Если дана произвольная замкнутая поверхность, для которой известна эйлерова характеристика и ориентируема она или нет, то эту поверхность можно точно идентифицировать.

Теорема классификации поверхностей

Замкнутая поверхность однозначно определяется эйлеровой характеристикой и ориентируемостью. Ориентируемая поверхность гомеоморфна сфере с g ручками для некоторого g ≥ 0. Неориентируемая поверхность гомеоморфна сфере с c скрещенными колпаками для некоторого c > 0.

Например, предположим, что S — ориентируемая замкнутая поверхность с эйлеровой характеристикой –6. Поскольку S ориентируемая, мы знаем, что она гомеоморфна сфере рода g (сфере с g ручками), где –6 = χ(S) = 2 — 2g. Следовательно, S гомеоморфна тору с 4 дырками. Аналогично, если T — неориентируемая замкнутая поверхность с эйлеровой характеристикой –4, то она гомеоморфна сфере с с скрещенными колпаками, где –4 = χ(Т) = 2 — с. Иными словами, T гомеоморфна сфере с 6 скрещенными колпаками.

Похожая теорема классификации имеет место для поверхностей с краем. Любая поверхность с краем эквивалентна одной из этих стандартных поверхностей с одним или несколькими вырезанными дисками. Эйлерова характеристика, ориентируемость и число компонент края определяют поверхность однозначно. Единственной ориентируемой поверхностью с эйлеровой характеристикой 0 и двумя компонентами края является цилиндр, единственной неориентируемой поверхностью с эйлеровой характеристикой 0 и одной компонентой края — лента Мёбиуса и т. д. (см. табл. 17.1).

Таблица 7.1. Эйлерова характеристика, ориентируемость и число компонент края для различных поверхностей

Поверхность S	χ(S)	Ориентируемая	Компонент края
Сфера	2	Да	0
Тор	0	Да	0
Тор с двумя дырками	— 2	Да	0
Тор с g дырками	2 — 2g	Да	0
Диск	1	Да	1
Цилиндр/кольцо	0	Да	2
Бутылка Клейна	0	Нет	0
Проективная плоскость	1	Нет	0
Сфера с c скрещенными колпаками	2–c	Нет	0
Лента Мёбиуса	0	Нет	1

В некотором смысле первым, кто начал процесс классификации (в 1850-х годах), был Бернхард Риман (1826–1866). Риман — один из самых знаменитых математиков XIX столетия. Он получил степень доктора в Гёттингенском университете под руководством Гаусса в самом конце карьеры последнего. В то время Гёттинген не был центром математики в Германии (Гаусс читал там только вводные курсы), поэтому над диссертацией Риман работал в основном в Берлинском университете.

Рис. 17.8. Бернхард Риман

Его блестящие способности проявились очень рано. На Гаусса, который нечасто давал лестные характеристики, огромное впечатление произвела первая публичная лекция Римана, которую тот прочел в 1854 году. Вот как Фрейденталь описывал эту лекцию: