Живая математика. Нематематическая книга о вдохновении, науке, образовании и жизни

Общее в этих проблемах то, что «топорное» деление поровну не видится справедливым вариантом ни в одной из них. В первом случае кто торопится, тот пускай и платит больше, не правда ли? Во втором сюжете девушка Оля явно имеет перед ребятами преимущество, они без неё почти что никуда, а значит, она должна, по идее, получать больше их обоих. В третьем случае жители более далёких коттеджей накладывают большие финансовые затраты на общий проект.

В то же время, во всех трёх историях с ходу совершенно непонятно, насколько больше должны платить/получать одни по сравнению с другими.

Именно здесь нам и пригодится механизм, названный «вектором Шепли». Шепли также предложил систему из четырёх аксиом, или требований, которым должен удовлетворять механизм дележа, и доказал, что тот принцип, который мы ниже опишем, является единственным принципом дележа, удовлетворяющим этим четырем аксиомам.

Вот как работает «вектор Шепли».

Участники проблемной ситуации выстраиваются в линейку, один за другим. Например: Оля, потом Гена, потом Паша. Оля берет себе то, что может заработать в одиночку, то есть 40 рублей. Затем Гена берет себе весь дополнительный выигрыш, который он привнесёт поющей Оле, присоединившись к ней со своими барабанами: 60 рублей минус 40 рублей, то есть 20 рублей. Пришедший третьим Паша забирает оставшиеся 70 рублей (130 минус 60).

И это все? Конечно же, нет! Паша «оторвал куш» от того, что ему посчастливилось быть последним. Если бы третьей появилась Оля, то она бы получила не 40, а целых 100 рублей (130 минус 30)! Поэтому от порядка появления музыкантов зависит и результат деления заработанных 130 рублей в час.

Как же тогда поступить? Шепли предложил самый простой и понятный способ: перечислить все способы упорядочения (выстраивания в линейку) участников, для каждого способа вычислить, кому сколько досталось, и потом просто усреднить три полученных вектора дележа. Если участника три, то способов упорядочения 6 (= 3 × 2 × 1, так называемый «3-факториал»), и задача решается довольно быстро.

Решим ее для наших музыкантов.

Линейка 1:

Оля, Гена, Паша.

Оле 40, Гене 20, Паше 70.

Линейка 2:

Оля, Паша, Гена.

Оле 40, Паше 30, Гене 60.

Линейка 3:

Гена, Оля, Паша.

Гене 10, Оле 50, Паше 70.

Линейка 4:

Паша, Оля, Гена.

Паше 20, Оле 50, Гене 60.

Линейка 5:

Гена, Паша, Оля.

Гене 10, Паше 20, Оле 100.

Линейка 6:

Паша, Гена, Оля.

Паше 20, Гене 10, Оле 100.

Теперь Оля получает среднее из (40, 40, 50, 50, 100, 100), то есть (40 + 40 + 50 + 50 + 100 + 100)/6 = 380/6 — чуть больше 63 рублей (почти половину заработанных ребятами денег!), Гена — (20 + 60 + 10 + 60 + 10 + 10)/6 = 170/6 — чуть меньше 29 рублей, а Паша — 70 + 30 + 70 + 20 + 20 + 20)/6 = 230/6 — чуть меньше 39 рублей. В сумме как раз 130 рублей в час!

Так же легко можно решить и задачу про квартирную сделку, поняв, какие издержки понесла бы каждая из сторон, если бы была одна или в паре с какой-то другой. А вот задачу про коттеджи в лоб решать долго: вариантов упорядочить четырех участников — 4 × 3 × 2 × 1 = 4! (обозначение для числа «4-факториал») — целых 24 способа!

Впрочем, у задачи с коттеджами существует «обходной приём». Можно доказать, что при делении по Шепли в этой задаче нужно дорогу разделить на 4 равных участка по 50 метров. За первый из них все платят поровну (по 50/4 = 12,5 тыс. рублей каждый), за второй платят только те трое, которые по нему ездят (по 50/3, то есть примерно по 17 тыс. рублей каждый), за третий — двое последних по 25 тыс, и последний участок целиком оплатит хозяин последнего коттеджа. Таким образом, например, третий хозяин заплатит 50/4 + 50/3 + 50/2 тыс. рублей, то есть приблизительно 55 тыс, а последний — целых 105 тыс. рублей. Но и первые двое не будут кататься совсем уж бесплатно.

А задачку про квартирную сделку советую решить самостоятельно, чтобы разобраться, что к чему. Есть еще целый ряд занимательных сюжетов, связанных с вектором Шепли. Например, по этому алгоритму можно рассчитать переговорную силу пяти основных и десяти сменных участников Совета Безопасности ООН. Сила каждого из этих десяти «временщиков» равняется 1/1330, в сумме — 1/133 от общей переговорной силы, взятой за единицу.

Как говорится, здесь есть о чём призадуматься!

Математика: прикладная дисциплина или чистая наука?

Если говорить «по чесноку», то настоящая математика — это наука ради науки, ищет смыслы в великих задачах прошлого, продолжая традицию в будущее. Красота ради красоты. Истина ради истины. А вот прикладная математика — это уже не вполне математика. Это физика, электроника, инженерия и так далее.