Читаем Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков полностью

Доведя до совершенства теорию инвариантов – эта область исследований, по существу, заглохла после того, как с ней поработал Гильберт, и оживилась лишь много лет спустя в еще более общем контексте, причем тогда возродился интерес одновременно и к вычислениям, и к понятиям, – Гильберт нашел для себя новую область приложения сил. В 1893 г. он начал новый проект – «Отчет о числах» (Zahlbericht). Дело в том, что Немецкое математическое общество предложило ему исследовать крупную область теории чисел – ту область, где рассматриваются алгебраические числа, то есть комплексные числа, удовлетворяющие полиномиальному уравнению с рациональными (или, что эквивалентно, целыми) коэффициентами. Примером алгебраического числа может служить удовлетворяющий уравнению x2–2 = 0; еще один пример – мнимое число i, удовлетворяющее уравнению x2 + 1 = 0. Как отмечено в главе 16, комплексные числа, которые не являются алгебраическими, называют трансцендентными; примеры таких чисел включают числа π и e, хотя это свойство трудно доказать, и долгое время вопрос оставался открытым. Трансцендентность e доказал Шарль Эрмит в 1873 г., а с трансцендентностью π разобрался Линдеман в 1882 г.

Основную роль алгебраические числа играют в теории чисел. Эйлер неявно использовал некоторые их свойства, к примеру при доказательстве Великой теоремы Ферма для кубов, но систематическое их изучение начал Гаусс. Пытаясь обобщить свой закон квадратичной взаимности на степени выше двойки, он открыл красивое расширение его на четвертые степени, основанное на алгебраических числах вида a + ib, где a и b – целые. Эта система «Гауссовых целых чисел» обладает многими особыми свойствами, в частности, имеет собственный аналог простых чисел и к нему собственную теорему о единственности разложения. Кроме того, Гаусс использовал алгебраические числа, имеющие отношение к корням единицы, при построении правильного семнадцатиугольника.

В главе 6, в связи с Великой теоремой Ферма, мы говорили о том, как использовал алгебраические числа Куммер и какое он предложил понятие идеальных чисел. Дедекинд упростил эту идею, переформулировав ее в терминах особых множеств алгебраических чисел, которые он назвал идеалами. После Куммера теория алгебраических чисел рванула вперед с помощью и при содействии теории уравнений Галуа и так же активно развивающейся абстрактной алгебры (глава 20). Фразу «алгебраическая теория чисел» можно интерпретировать двояко: это может быть и алгебраический подход к теории чисел, и теория алгебраических чисел. Теперь же оба значения сходились к одному и тому же, и именно в этом Немецкое математическое общество просило Гильберта разобраться. Он, что характерно, пошел намного дальше. Он задался вопросом, которым испокон веков задаются математики, столкнувшиеся с большим массивом интересных, но неорганизованных результатов: «Да, конечно, но о чем это на самом деле?» Поиск ответов на этот вопрос позволил ему сформулировать и доказать множество новых теорем.

Все время работы над «Отчетом о числах» Гильберт вел обширную переписку на эту тему с Минковским – иногда даже слишком обширную, так что временами Гильберт чувствовал настоящее отчаяние; ему начинало казаться, что работа никогда не будет закончена в виде, который удовлетворил бы его взыскательного друга. Однако в конечном итоге отчет был опубликован. В нем были сформулированы и доказаны общие аналоги квадратичной взаимности, образовавшие основу того, что мы сегодня называем теорией полей классов – это до сих пор активно развивающаяся, хотя и весьма сложная технически понятийная основа для теории алгебраических чисел. В предисловии к «Отчетам» говорится:

Таким образом, мы видим, как далеко арифметика – королева математики – зашла в захвате обширных областей алгебры и теории функций, чтобы стать их лидером… Следует заключить, если я не ошибаюсь, что прежде всего современное развитие теоретической математики происходит под знаменем числа.

Возможно, сегодня мы не станем заходить так далеко, но в то время такое заявление было вполне оправданным.

* * *

Гильберт, как правило, работал 5–10 лет в одной области, решал в ней крупные задачи, доводил все до совершенства, а затем уходил на новые «угодья», иногда совершенно забывая, что когда-то изучал эту тему. Однажды он заметил, что занимается математикой потому, что в ней, если что-то забудешь, всегда можно вывести это заново. Математик до мозга костей, теперь он «покончил» с алгебраической теорией чисел. И двинулся дальше. Его студенты, которых он из года в год бомбардировал лекциями об алгебраических числах, были поражены, когда выяснилось, что в следующем году темой лекций Гильберта будут начала геометрии. Гильберт возвращался к Евклиду.

Перейти на страницу:

Все книги серии Библиотека фонда «Траектория»

Братья Райт. Люди, которые научили мир летать
Братья Райт. Люди, которые научили мир летать

В начале XX века человечество охватила «летная лихорадка» – страстное стремление воплотить, наконец, в жизнь многовековую мечту об управляемом полете. Правительства США и стран Европы тратили огромные суммы на программы по созданию первого летательного аппарата с мотором. А в это время в небольшом американском городке в штате Огайо два сына местного епископа на собственные небольшие средства строили свою летающую машину. История о том, как скромные владельцы велосипедной мастерской, не окончившие даже колледжа, сконструировали и испытали первый в мире управляемый самолет, рассказанная лауреатом Пулитцеровской премии, обладателем Национальной книжной премии США Дэвидом Маккаллоу.Орвилл и Уилбур Райт заинтересовались полетами после знакомства с детской французской игрушкой, похожей на «вертолет» с двумя пропеллерами и резиновой лентой. Любопытство, пытливость ума, чтение книг и страсть к полетам помогли братьям Райт сконструировать первый управляемый самолет.Из книги, полной биографических и исторических подробностей, читатель узнает, как братья Райт наблюдали за птицами и почему этот опыт оказался необходимым при испытании первых планеров в неприметном Китти Хок на Внешних отмелях, как неудачи только подтолкнули к окончательной решимости летать и как четыре полета на «Флайере» в декабре 1903 года изменили ход истории человечества.

Дэвид Маккаллоу

Публицистика
Происхождение всего: От Большого взрыва до человеческой цивилизации
Происхождение всего: От Большого взрыва до человеческой цивилизации

Невероятно компактный рассказ геофизика Дэвида Берковичи о том, как все везде появилось: звезды и галактики, атмосфера Земли, океаны, клетка и, наконец, человеческие цивилизации, написан трепетно и талантливо. Сочетая юмор и безупречную научную канву, Берковичи с головокружительной скоростью проводит нас сквозь пространство и время – почти 14 млрд лет, показывая при этом связи между теориями, помогающие понимать такие темы, как физика частиц, тектоника плит и фотосинтез. Уникальный эксперимент Берковичи в равной мере впечатляет научной убедительностью и литературным мастерством и станет незабываемым опытом знакомства с вопросами космологии, геологии, климатологии, человеческой эволюции как для искушенного читателя, так и для новичка.

Дэвид Берковичи

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Зарубежная образовательная литература / Образование и наука
Как работает Вселенная: Введение в современную космологию
Как работает Вселенная: Введение в современную космологию

Эта книга посвящена космологии – науке, недавно отпраздновавшей свое столетие. Она объясняет, почему мы уверены, что у Вселенной есть начало, где и когда произошел Большой взрыв, что означает разбегание галактик, как образовалось все, что нас окружает, от атомов до галактик, каково будущее Вселенной, существуют ли миры с другими физическими законами, что такое черные дыры и многое другое. Подробно рассказывается про то, что нам известно и что неизвестно про две таинственные сущности, которые вместе составляют более 95 % содержимого Вселенной – темную материю и темную энергию. Кроме того, показаны физические основы общей теории относительности и предсказанные ею эффекты.Книга ориентирована на широкий круг читателей, но некоторые ее разделы, в которых излагаются элементы нерелятивисткой космологии, требуют знания математики на уровне начальных курсов университета. Эту часть можно рассматривать как своеобразный учебник, в котором основные космологические решения получены без использования математического аппарата общей теории относительности.

Сергей Л. Парновский

Астрономия и Космос / Прочая научная литература / Образование и наука

Похожие книги

100 великих гениев
100 великих гениев

Существует много определений гениальности. Например, Ньютон полагал, что гениальность – это терпение мысли, сосредоточенной в известном направлении. Гёте считал, что отличительная черта гениальности – умение духа распознать, что ему на пользу. Кант говорил, что гениальность – это талант изобретения того, чему нельзя научиться. То есть гению дано открыть нечто неведомое. Автор книги Р.К. Баландин попытался дать свое определение гениальности и составить свой рассказ о наиболее прославленных гениях человечества.Принцип классификации в книге простой – персоналии располагаются по роду занятий (особо выделены универсальные гении). Автор рассматривает достижения великих созидателей, прежде всего, в сфере религии, философии, искусства, литературы и науки, то есть в тех областях духа, где наиболее полно проявились их творческие способности. Раздел «Неведомый гений» призван показать, как много замечательных творцов остаются безымянными и как мало нам известно о них.

Рудольф Константинович Баландин

Биографии и Мемуары
10 гениев спорта
10 гениев спорта

Люди, о жизни которых рассказывается в этой книге, не просто добились больших успехов в спорте, они меняли этот мир, оказывали влияние на мировоззрение целых поколений, сравнимое с влиянием самых известных писателей или политиков. Может быть, кто-то из читателей помоложе, прочитав эту книгу, всерьез займется спортом и со временем станет новым Пеле, новой Ириной Родниной, Сергеем Бубкой или Михаэлем Шумахером. А может быть, подумает и решит, что большой спорт – это не для него. И вряд ли за это можно осуждать. Потому что спорт высшего уровня – это тяжелейший труд, изнурительные, доводящие до изнеможения тренировки, травмы, опасность для здоровья, а иногда даже и для жизни. Честь и слава тем, кто сумел пройти этот путь до конца, выстоял в борьбе с соперниками и собственными неудачами, сумел подчинить себе непокорную и зачастую жестокую судьбу! Герои этой книги добились своей цели и поэтому могут с полным правом называться гениями спорта…

Андрей Юрьевич Хорошевский

Биографии и Мемуары / Документальное
Клуб банкиров
Клуб банкиров

Дэвид Рокфеллер — один из крупнейших политических и финансовых деятелей XX века, известный американский банкир, глава дома Рокфеллеров. Внук нефтяного магната и первого в истории миллиардера Джона Д. Рокфеллера, основателя Стандарт Ойл.Рокфеллер известен как один из первых и наиболее влиятельных идеологов глобализации и неоконсерватизма, основатель знаменитого Бильдербергского клуба. На одном из заседаний Бильдербергского клуба он сказал: «В наше время мир готов шагать в сторону мирового правительства. Наднациональный суверенитет интеллектуальной элиты и мировых банкиров, несомненно, предпочтительнее национального самоопределения, практиковавшегося в былые столетия».В своей книге Д. Рокфеллер рассказывает, как создавался этот «суверенитет интеллектуальной элиты и мировых банкиров», как распространялось влияние финансовой олигархии в мире: в Европе, в Азии, в Африке и Латинской Америке. Особое внимание уделяется проникновению мировых банков в Россию, которое началось еще в брежневскую эпоху; приводятся тексты секретных переговоров Д. Рокфеллера с Брежневым, Косыгиным и другими советскими лидерами.

Дэвид Рокфеллер

Биографии и Мемуары / История / Образование и наука / Документальное