Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Как всегда, у Гильберта были на то свои резоны, и опять же ключевой вопрос можно было сформулировать так: «Да, конечно, но о чем это на самом деле?» На этот вопрос Евклид дал бы ответ «о пространстве»; именно поэтому он все свои теоремы иллюстрировал геометрическими чертежами. Гильберта, однако, гораздо больше интересовала логическая структура аксиом геометрии и как из них проистекают теоремы, часто далеко не очевидные. Его также не устраивал у Евклида список аксиом, поскольку использование чертежей привело Евклида к некоторым допущениям, которые он не сформулировал явно.

Простой пример – утверждение «прямая, проходящая через точку, которая лежит внутри окружности, обязательно с этой окружностью пересекается». На чертеже это выглядит очевидно, но такое утверждение не является логическим следствием Евклидовых аксиом. Гильберт понял, что аксиомы Евклида неполны, и решил исправить оплошность. Евклид определял точку как «то, что не имеет частей», а прямую – как линию, которая «лежит равномерно по отношению к точкам на ней». Гильберт считал эти утверждения лишенными смысла. Главное, заявлял он, – это как ведут себя эти понятия, а не какой-то мысленный образ того, что они собой представляют. «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках», – говорил Гильберт коллегам. В частности, рисунки были вне игры.

Разумеется, этот проект Гильберта был тесно связан с более глубоким вопросом, который к тому моменту уже был понятен ученым, – вопросу неевклидовых геометрий и аксиомы о параллельных (глава 11). Гильберт пытался установить базовые принципы аксиоматического рассмотрения математических тем. Среди этих тем были непротиворечивость (отсутствие логических противоречий) и независимость (чтобы никакая аксиома не была следствием из других аксиом). Также весьма желательны были полнота (не упустить ничего важного) и простота (по возможности). Евклидова геометрия была пробным камнем. С непротиворечивостью все было просто: Евклидову геометрию можно смоделировать при помощи алгебры, применяя ее к координатам (x, y) на плоскости. То есть можно начать с обычных чисел и построить на их основе математическую систему, которая будет подчиняться всем Евклидовым аксиомам. Из этого следует, что эти аксиомы не могут противоречить друг другу, поскольку тогда доказательство от противного покажет нам, что построенной модели не существует. У этого рассуждения, однако, имеется один потенциальный недостаток, и Гильберт с самого начала понимал это. При этом предполагалось, что стандартная числовая система непротиворечива сама по себе; что арифметика состоятельна – именно это математики имеют в виду, когда говорят «существует». Каким бы очевидным это ни казалось, никто и никогда в реальности этого не доказывал. Позже Гильберт попытался устранить этот пробел, но сам об этом пожалел.

Результатом этой работы стала лаконичная и элегантная книга «Основания геометрии», опубликованная в 1899 г. В ней Евклидова геометрия выводилась из 21 явно сформулированной аксиомы. Три года спустя Элиаким Мур и Роберт Мур (не родственники) доказали, что одну из этих аксиом можно вывести из остальных, так что на самом деле достаточно 20 аксиом. Гильберт начал с шести простейших понятий: это объекты «точка», «прямая», «плоскость» и отношения «между», «лежит на» и «конгруэнтный». Восемь аксиом разбирают отношения инцидентности между точками и прямыми, такие как «любые две различные точки лежат на одной прямой». Четыре аксиомы (которые Евклид, пользуясь чертежами, принял по умолчанию, без явной формулировки) говорят о порядке точек на прямой. Еще шесть разбирают вопросы конгруэнтности (отрезков прямых и треугольников; слово «конгруэнтный» по существу означает «такой же по форме и размеру»). Далее идет Евклидова аксиома о параллельных, в необходимости включения которой уже не сомневался ни один компетентный математик. Наконец, были еще две тонкие аксиомы о непрерывности, согласно которым точки на прямой соответствуют действительным числам (а не, скажем, рациональным, ведь тогда прямые, очевидно пересекающиеся на чертеже, могут позабыть сделать это в рациональной точке).